下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？
证明
位换记号、排列测试与状态图：杂耍中的数学
2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日，第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二，之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强，并在淘汰赛阶段过关斩将，最终成功在决赛场上相遇。最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ，夺得了又一个搏击之夜的冠军。
杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时，两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒，不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后，谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。
典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。
趣题：为什么偏偏是 6 格？
无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：
- 选择某个格子，保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个，从而使得该格子内的原子数量减 1 ，两边的邻格里的原子数量分别加 1。
- 选择某个格子，保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来，从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ，该格子内的原子数量加 1。
初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。
IMO2016 趣题：Geoff 的青蛙
2016 年 IMO 的第 6 题（也就是第二天比赛的第 3 题）非常有趣，这恐怕算得上是近十年来 IMO 的所有题目中最有趣的题目之一。平面上有 n ≥ 2 条线段，每两条线段都有一个交点，并且任意三条线段都不交于同一点。 Geoff 打算在每条线段的其中一个端点处放置一只青蛙，并让每只青蛙都朝向它所在线段的另一个端点。然后， Geoff 将会拍 n – 1 次手。每次拍手时，每只青蛙都立即向前跳到它所在线段的下一个交点处（青蛙们在跳跃过程中始终不会改变方向）。 Geoff 希望巧妙地安排初始时放置青蛙的方法，使得在整个过程中，任意两只青蛙都不会同时到达某个相同的交点。这个题目有两个小问。
- 证明：当 n 为奇数时， Geoff 一定有办法实现他的要求。
- 证明：当 n 为偶数时， Geoff 永远无法实现他的要求。
捡石子游戏、 Wythoff 数表和一切的 Fibonacci 数列
让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上，两人遵循棋子的走法，轮流移动棋子，但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角，谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置，那么你愿意先走还是后走？显然，答案与我们放的是什么棋子有关。
这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象，不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角，所以我们也就不分析了。因此，我们只需要研究王、后、车三种情况。