字符串 hello 当中连续出现了两个 l 。字符串 prototype 当中连续出现了两个 ot 。字符串 nonsense 当中连续出现了两个 nse 。如果某个字符串中连续出现了两个相同的片段，换句话说这个字符串里面含有形如 XX 的模式（其中 X 代表一个子串），我们就说这个字符串中含有一个“平方”（square）。如果某个字符串中没有平方出现，我们就说这个字符串是“免平方”的（square-free）。
如果只使用两种字符，比方说字符 0 和字符 1 的话，我们只能构造出一些长度非常有限的免平方字符串。事实上，我们只能构造出以下 6 个免平方字符串： 0 、 1 、 01 、 10 、 010 、 101 。然而，如果允许使用三种字符，比方说字符 0 、 1 、 2 的话，我们不但能够构造出任意长的免平方字符串，还能构造出无限长的免平方字符串。在继续阅读下去之前，你不妨先自己试试看。
观察下面几个式子：
13 = 1； (1)2 = 1
13 + 23 = 9； (1 + 2)2 = 9
13 + 23 + 33 = 36； (1 + 2 + 3)2 = 36
13 + 23 + 33 + 43 = 100； (1 + 2 + 3 + 4)2 = 100
…… ……
大家应该可以猜到，事实上，对于任意正整数 n ，下述等式永远成立：
13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2
这个恒等式的证明方法有很多很多，今天我看到了一种有趣的组合证明方法，来源于《Proofs that Really Count》的第 8 章。
问题：能否用多米诺骨牌既无重复又无遗漏地覆盖一个 6 × 6 的棋盘，使得棋盘上的每一条水平线和每一条竖直线都会穿过至少一个多米诺骨牌？举个例子，下图所示的棋盘覆盖方案就是不满足要求的，因为棋盘的第二条水平线不会切断任何一个多米诺骨牌。
有一个无限大的棋盘，棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域，其中最左下角的那个格子里有一枚棋子，如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子，分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作，让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是：对于那些 n ，这个游戏是有解的？
