来源：MathOverflow
不得不说，确实很妙！
组合数学
趣题：某个经典结论的妙用
空间中有六个点，它们两两间的距离都互不相等。考虑所有以这些点为顶点构成的三角形。证明：存在某个三角形，它的最长边是另外某个三角形中的最短边。
这个结论并不是显然的。为了说明这一点，只需要注意到同样的结论对n=5的情况是不成立的。考虑平面上一个正五边形的五个顶点（微调它们的位置使得两两间的距离互不相等），容易发现任意三个点所组成的三角形，其最长边都不可能是另一个三角形的最短边。
趣题：构造骰子使其与两个标准骰子等价
今天下午在上语言统计分析课时，我听到了一个非常有趣的问题。考虑同时抛掷两个骰子所得到的结果——它们的和有1/36的概率得到2，有2/36的概率得到3，……，有1/36的概率得到12。现在，你能否构造两个新的骰子，使得同时抛掷两个新骰子的结果与原来相同？注意，每个骰子都有6个面，每个面都有一个正整数。这些点数可能超过6，并且可能会有重复。另外，这两个骰子也无需完全相同。
解决这个问题并不难。首先注意到，为了使得两个骰子的点数之和能够得达到2，每个骰子上都得有一个“1”（并且仅有一个“1”）才行。接下来考虑，为了得到两种和为3点的情况，我们还得在两个骰子上放置两个“2”：我们可以在每个骰子上各放一个“2”，不过这样就与原来的骰子没啥区别了；我们也可以来点不一样的，把两个“2”都放在一个骰子上。现在，其中一个骰子上只放了一个“1”，另外一个骰子已经填了一个“1”和两个“2”，这可以保证它们能产生出一个2点和两个3点。再下一步，我们将考虑如何产生出三个4点。为此，我们需要把三个“3”分配到两个骰子中。这样推下去虽然越来越麻烦，但最终你还是能得到一个合法解：一个骰子上写有1、2、2、3、3、4，另一个骰子上写有1、3、4、5、6、8。不过，这个问题有一个异常巧妙的解法，它能够把两个骰子的点数进行整体求解。你能想到这个做法吗？
Pick定理的几个出人意料的应用
考虑直线x+y=n，其中n是一个素数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格点（如上图，图中所示的是n=11的情况）。将这n-1个点分别和原点相连，于是得到了n-2个灰色的三角形。仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多。这是为什么呢？
俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗？
大家在玩俄罗斯方块的时候有没有想过这样一个问题：如果玩家足够牛B的话，是不是永远也不可能玩死？换句话说，假设你是万恶的游戏机，你打算害死你面前的玩家；你知道任意时刻游戏的状态，并可以有针对性地给出一些明显不合适的方块，尽量迫使玩家面对最坏情况。那么，你有没有一种算法能保证害死玩家，或者玩家无论如何都存在一种必胜策略呢？注意，俄罗斯方块的游戏区域是一个宽为10，高为20的矩形，并且玩家可以预先看到下一个给出的方块是什么。在设计策略时，你必需考虑到这一点。
相信很多人有过这样的经历：玩俄罗斯方块时一开局就给你一个“S”型方块，让完美主义者感到异常别扭；结果，第二个方块还是这个“S”，第三个方块依旧是“S”，相当令人崩溃。于是，我们开始猜测，如果游戏机给你无穷个“S”形方块，玩家是不是就没有解了？答案是否定的。如图1，从第10步开始，整个局面产生一个循环；只要机器给的一直都是“S”方块，玩家可以不断重复这几个步骤，保证永远也死不了。
不过，这个循环是在游戏场地清空了的情况下才产生的。有人会进一步想了，要是在玩着玩着，看着你局势不好时突然给你无穷多个“S”方块呢？事实上，此时局面的循环依然可能存在，如图2。在第5个“S”形方块落地后，循环再次产生。