今天碰上一个非常有意思的问题。有一条通信线路，每次可以发送一个由数字 0 到 9 组成的任意长的数字串。怎样巧妙地利用这条通信线路，构造一种一次能够发送两个数字串的协议？注意到，直接将两个数字串相连是不行的，因为这将会产生歧义。如果对方收到的数字串是 1234 ，他没法知道你发送的是数字串 12 和 34 ，还是数字串 123 和 4 ，抑或是 1 和 234。
能否把第一个串的位数编码进去，比如把 12 和 34 编码成 21234 ，这样不就知道第一个数字串到哪儿截止了吗？不行，因为你不知道这个位数信息本身到哪儿截止，假如编码结果是 123456789012345 ，你就不知道第一个数字串是 1 位还是 12 位了。换一个思路，能否用几个非常特殊的数字当作分隔符呢？也不行，因为你要发送的数字串里有可能偏偏也包含了这几位数。怎么办呢？
今天的趣题来源于 IBM Ponder This 三月份的谜题。
大家应该都听说过这个老题目：有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？
这个问题的答案也堪称经典：把瓶子从 0 到 999 依次编号，然后全部转换为 10 位二进制数。让第一只老鼠喝掉所有二进制数右起第一位是 1 的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有二进制数右起第二位是 1 的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第一位是 1 ；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第二位是 0 ⋯⋯每只老鼠的死活都能确定出 10 位二进制数的其中一位，由此便可知道毒药瓶子的编号了。
现在，有意思的问题来了：如果你有两个星期的时间（换句话说你可以做两轮实验），为了从 1000 个瓶子中找出毒药，你最少需要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就无法继续参与第二次实验了。
由于某些原因，最近在整理以前的日志。偶然翻到这篇日志时，顺便在 Wikipedia 复习了一下 Arrow 不可能性定理的证明，惊奇地发现这个定理的证明过程非常困难但又非常初等，是一个门槛很低、老少咸宜的思维游戏。虽然不少人都翻译过 Wikipedia 上的这段证明，但我也想自己写一个自己的理解，一来做个笔记，二来也锻炼一下自己的表达能力。
Arrow 不可能性定理是一个与选举制度有关的定理。选举制度，说穿了就是把所有选民的意见综合成一个全体意见的算法。选民的意见，无非是候选对象在心目中谁优谁劣，完整地反应在选票上，就是候选对象们从优到劣的一个顺序；形式最完整的全体意见，也就是候选对象的这么一个排列。因此，我们可以把整个选举制度想像成一个函数，输入 n 个排列（相当于 n 张选票），将会输出一个排列（相当于选举结果）。对输入数据的任何一处小改变，都有可能导致输出结果随之变化。作为一个合理的选举制度，它必须满足一些起码的要求。我们提出两个最基本的选举制度要求：
1. 如果每张选票都认为 X 比 Y 好，那么投票结果中 X 的排名也必须比 Y 更靠前；
2. 如果每张选票中 X 、 Y 的相对排名都不改变，那么投票结果中 X 和 Y 谁先谁后也不能变。
我们将证明，同时满足上述两个条件的选举制度只有一种，就是选举结果唯一地由其中某个选民的选票决定。也就是说，独裁是唯一一种完美的选举制度。为了简便起见，让我们假设候选人只有 A 、 B 、 C 三个人。你会发现，下面的证明过程很容易扩展到多个人的情况。
这是一个非常经典的问题：是否存在无穷个互不相交的圆，它们并在一起就是整个三维空间？换句话说，能否用圆形既无重复又无遗漏地填满整个三维空间？
我很早就见过这个问题。我第一次看到这个问题时，显然没能理解到这个问题的精妙之处。当时我在想，这不是显然可以吗？把三维空间想像成无穷个平行平面的并集，而每个平面又可以看作是由无穷多个同心圆组成的，这样一来整个空间不就划分成无穷个不相交的圆了吗？因此，我一直没有认真考虑过这个问题。
直到今天我才想到，上面的方案显然有问题——那些同心圆的圆心不属于任何一个圆。这个最容易想到的构造其实是错误的。看来，这个问题似乎没那么平凡。问题重新摆在了我们面前：究竟能不能把三维空间分成无穷个圆？
不知道有多少人已经熟知 Conway 的生命游戏，但却从没听说过 Langton 的蚂蚁游戏？反正我是其中之一。直到今天我才听说了这个比生命游戏更酷的游戏—— Langton 的蚂蚁。这也是一个二维自动机形式的零玩家游戏，不过我觉得它比生命游戏有趣得多。这有两个理由：
1. 它的算法过程更简单。初始时，蚂蚁位于一张空白画布的某个方格里。如果当前蚂蚁在白色方格上，则对当前方格反色，左转 90 度，前进一格；如果当前蚂蚁在黑色方格上，则对当前方格反色，右转 90 度，前进一格。如此反复。
