上次说到维度时，有人提到了如何理解四维空间的问题。这是一个非常有趣的话题，可是我一直没有用心写一下。前段时间网上出了一部片子叫做Dimensions: a walk through mathematics，据称里面详细介绍了四维空间。我本以为推荐一下这个片子就能少写一篇又臭又长的日志了的，没想到下下来看了之后发现该片奇差，不了解四维空间的人看了半天估计还是不了解四维空间。最近放假比较闲，打算慢慢来扯一下。如果你以前从来没细想过四维空间的话，相信今天你会有一种超凡脱俗的感觉。
现在，假设我是一个二维世界的人，我不能理解什么是“高度”，什么是“体”，什么是“空间”。你想向我描述三维世界中的立方体。你该怎么说呢？你或许会从立方体的展开图开始谈起：图(a)就是一个立方体的展开图，如果我们剪一个这种形状的纸板，我们可以把它折成一个正方体。我开始好奇了。
偶然看到这个网页，很是受启发，然后自己也没事干，一个人躺在床上想了很多。
昂贵而奢侈的房间
制造一个房间将变得非常的昂贵，也将变得非常非常奢侈。为了建造一个1000维的立方体空间，你需要在2000个方向上各修建一个999维的墙，即使墙的“厚度”很小很小，这也需要耗费大量的人力、物力和财力。同时，这样的房间也将非常非常非常大。假设1000维空间中的人是一个边长一米的超立方体，边长两米的超立方体房间里可以容纳10^300个人。当然，也许有人会问，为什么不把房间边长定小一些呢？如果房间边长仅有1.01米，容量也超过20000了啊？其实，房间容量大了没有任何意义，人多了照样挤不下。正如把一个单位大小的三维立方体放进边长为1.5米的三维立方体盒子中一样，虽然余下的空间超过了两立方米，但这点空间仍然不可能挤下哪怕再多一个的单位立方体。
死一般的世界
不要对高维世界抱有任何美好的幻想。1000维世界里是一片黑暗的。在1000维世界中，发光体再也牛B不起来了。半径为2的超球体，体积是单位超球体的10^300倍；因此随着与光源的距离的增加，照度以难以想象的恐怖速度垂直递减。类似地，1000维世界也是无声的。要想让声音传到10米外的地方，需要耗费的能量是一个天文数字。
在这样的世界中，生物将无法进行远程交流，甚至不会进化出视觉和听觉能力。一切社交行为都是以直接接触的形式发生的。另外一种可能是，当被动接收外界能量不可能实现时，生物将进化出一种主动探测外部世界的能力。生物可以发出一种集中程度高、不易向四周弥散的能量束，该能量束能够沿原路返回，使得生物能定向地获取外部信息。
正如宇宙射线、暗物质、反物质等一些我们（或许是因为缺少某种感觉器官而）感受不到，但事实上确实存在的东西一样，1000维世界中的科学家猜想有光源、声源等自然能量产生。他们投入了大量精力，耗尽了身边可用的资源，企图创造出一个可测量的尺度下的能量源。发现自然的光源和声源将成为物理学界的前沿科学，或者被宗教利用，成为一种具有蛊惑性的仪式。
这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东西：随机游走(random walk)问题。
随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）。有趣的是，这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单，关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说，多数人第一反应肯定是，平均距离应该是0，因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号，期望显然是一个比0大的数。如果我们做p次实验，那么我们要求的平均距离D就应该是
其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰，它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是，当同样的问题扩展到二维时，情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上，利用勾股定理我们可以求出离原点的距离的平方R^2的值：
一旦把平方展开后，有趣的事情出现了：这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的，因此当实验次数p充分大时，除了那几个平方项以外，其它的都抵消了。最后呢，式子就变成了
于是呢，就有平均距离R=sqrt(n) （准确的说是均方根距离）。我们得出，在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度，则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。
刚在sdyy那儿看到了这个好东西。影片Dimensions长约2个小时，共分为9章，谈论了维度、射影、复数等有趣的数学话题。下面是一个4分钟长的预告片。完整的视频可以在这里下载。
YouTube链接：http://www.youtube.com/watch?v=GgbcHZHEqSQ
查看更多：http://www.superliminal.com/cube/cube.htm (含下载)