这篇日志里，我曾提到过一个非常牛B的Flash动画The Zoomquilt，它由一系列的图片拼接而成，并且这些图片最终形成了一个循环，从而产生出无限放大的效果。最近，网络上出现了Zoomquilt加强版Zoomquilt II，它比前一代包含更多的图片和更丰富的细节。如果你喜欢他们的前一个作品的话，你会更加喜欢这个加强版的。
每年的这个时候，SciFi频道都会推出一个Mini科幻剧，通常只有三集，每集大约两个小时。最新的Mini科幻剧Tin Man讲述一群人被困在一个叫做Outer Zone的地方，前几天刚刚播完。SciFi频道为这部剧集制作了一个类似的Flash动画，效果更加华丽，完全看不出拼接的痕迹，并且还加入了声音和动画效果。
图片来源：http://brownsharpie.courtneygibbons.org/?p=313 一个非常有意思的网站！
今年恰逢PKU数学文化节十周年，其间开办的很多讲座我都去了。去听讲座的人好像都是数院的，我恐怕是唯一一个中文系的。考虑到我和中文系的MM没有共同话题，因此每一次听讲座时我都会顺便四处打望，看看有没有数院的美女，下来可以和她“交谈”一下。有趣的是我的做法与常人所想的恰好相反：据说数院的已经盯上中文系的MM了，而我一个中文系的竟然反过来去找数院的MM。
昨天有一个关于非欧几何的讲座，这是目前所有的讲座中最为精彩的一次。讲座里提到了Poincaré的一个双曲几何模型，感觉非常有意思，在这里和大家分享一下。
在所有的双曲几何模型中，Poincaré的圆盘模型可能是最有趣的一个。这个双曲世界存在于一个有限的平面区域里，整个世界限制在一个单位圆的范围内。这个世界中有两个最重要的物理定律：一，假如某物体X离原点O距离为d，那么该物体的温度为1-d^2；二，物体的大小与温度成正比。这样，假如某个人从这个世界的中心走向边缘，那么他的温度会从1慢慢变成0，同时整个人慢慢变小。他自身大小改变的同时周围的物体也等比例地放大或缩小，而这个世界里的人视野有限，看不见远处的东西，因此他不会觉得自己变小了或者变大了。因此，在这个世界里，物理学家们能够很轻易地发现第一定律，但要发现第二定律则非常具有挑战性，探索第二定律的过程必然很曲折，并且很可能出现哥白尼时代的故事。
对于我们来说，这个世界是有界的；但对于这个世界中的人来说，这个世界是无穷大的。因为离原点越远，人就越小，于是相对来说他们所看到的空间也就越大。当人的位置趋于边界时，物体大小趋于0，此时的空间将变得无穷大，因此这个世界中的物体永远无法到达边界。同时，离原点越远的话越接近“绝对零度”，这将非常不适宜生物的生存，因此人们大多居住在原点，离原点越远城市规模越小，更远的地方则完全没有开发过，只适合于疯狂的冒险家进行极限运动。于是这个世界中的物理学家很自然地得到这个结论：世界是无穷大的。
下面就神奇了。现在，考虑某个人想从A点走到B点。如果按照红色的线段直直地走过去，所走的路程并不是最短的，因为这条路线离原点较远。聪明的人会发现，我先往原点方向走一点，然后再到B点去，这样走的路程更短一些。我们猜想，最短路线很可能是一条偏向于原点的弧线（就好像原点把直线段“吸”过去了一样）。之所以产生这种奇怪的现象是因为，离原点越远物体就越小，人的步子也变小了，相对来说实际空间就变大了。因此，对我们来说距离相等的两点，对他们来说离原点越远其实际距离越大。因此，我们有必要重新定义这个双曲世界中“距离”的概念。由于物体大小与1-d^2成正比，因此我们可以定义，如果在离原点距离为d的位置上有一个充分小的位移，在我们看来距离为Δx，那么在这个世界中的实际距离就是Δx/(1-d^2)。这样就可以算出，从A到B的最近路线是一条垂直于边界的圆弧（蓝色的那条）。于是在这个世界中，“直线段”已经不再是我们熟悉的直线段了，而是一条条的弧线（还包括整个圆的直径）。而我们眼中的直线，在他们看来就是曲线。
这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设，但不满足第五公设。比如，两点确定一条直线，因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的边界；而直线可以无限延长，因为离边界越近两点的实际距离越大，你永远走不到尽头。但是，这个世界不满足第五公设。从图2可以看到，过一点可以作无数条直线不与已知直线相交；从图3可以看到，三角形的内角和小于180度。下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分，里面的所有三角形都是等边三角形，而且所有这些三角形都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一个顶点，这说明三角形的内角和小于180度。
另外值得一提的是，这个构想很适合写成一篇科幻小说。记得大刘的那篇科幻吗？一群电子器件诞生在某颗星球的内核，然后探索物理定律，历经重重困难，最终冲破了它们那个世界的“天然外壳”，看到了外面的世界，并相信我们整个宇宙也处于一个更大的星体内。这个双曲几何模型也很适合写出这样的小说来，比如以物理史书的方式叙述从古至今若干个传奇人物的故事，讲述他们是如何从一些奇怪的现象出发，通过各种试验证明自己的猜想，顶住社会各方面的压力，执著地探索宇宙的奥秘。小说中的人物可以带着读者一起进行探索，最后才告诉读者这个宇宙的本质是什么。
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考虑函数f(z)=z^2-0.75。固定z0的值后，我们可以通过不断地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), …。比如，当z0 = 1时，我们可以依次迭代出：
z1 = f(1.0) = 1.0^2 – 0.75 = 0.25
z2 = f(0.25) = 0.25^2 – 0.75 = -0.6875
z3 = f(-0.6875) = (-0.6875)^2 – 0.75 = -0.2773
z4 = f(-0.2773) = (-0.2773)^2 – 0.75 = -0.6731
z5 = f(-0.6731) = (-0.6731)^2 – 0.75 = -0.2970
…
可以看出，z值始终在某一范围内，并将最终收敛到某一个值上。
但当z0=2时，情况就不一样了。几次迭代后我们将立即发现z值最终会趋于无穷大：
z1 = f(2.0) = (2.0)^2 – 0.75 = 3.25
z2 = f(3.25) = (3.25)^2 – 0.75 = 9.8125
z3 = f(9.8125) = (9.8125)^2 – 0.75 = 95.535
z4 = f(95.535) = (95.535)^2 – 0.75 = 9126.2
z5 = f(9126.2) = (9126.2)^2 – 0.75 = 83287819.2
…
经过计算，我们可以得到如下结论：当z0属于[-1.5, 1.5]时，z值始终不会超出某个范围；而当z0小于-1.5或大于1.5后，z值最终将趋于无穷。
现在，我们把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数z0=x+iy，取不同的x值和y值，函数迭代的结果不一样：对于有些z0，函数值约束在某一范围内；而对于另一些z0，函数值则发散到无穷。由于复数对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于哪些z0函数值最终趋于无穷，对于哪些z0函数值最终不会趋于无穷。我们用深灰色表示不会使函数值趋于无穷的z0；对于其它的z0，我们用不同的颜色来区别不同的发散速度。由于当某个时候|z|>2时，函数值一定发散，因此这里定义发散速度为：使|z|大于2的迭代次数越少，则发散速度越快。这个图形可以编程画出。和上次一样，我用Pascal语言，因为我不会C的图形操作。某个MM要过生日了，我把这个自己编程画的图片送给她^_^
{$ASSERTIONS+}
uses graph;
type
complex=record
re:real;
im:real;
end;
operator * (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
c.re := a.re*b.re - a.im*b.im;
c.im := a.im*b.re + a.re*b.im;
end;
operator + (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
c.re := a.re + b.re;
c.im := a.im + b.im;
end;
var
z,c:complex;
gd,gm,i,j,k:integer;
begin
gd:=D8bit;
gm:=m640x480;
InitGraph(gd,gm,'');
Assert(graphResult=grOk);
c.re:=-0.75;
c.im:=0;
for i:=-300 to 300 do
for j:=-200 to 200 do
begin
z.re:=i/200;
z.im:=j/200;
for k:=0 to 200 do
begin
if sqrt(z.re*z.re + z.im*z.im) >2 then break
else z:=(z*z)+c;
end;
PutPixel(i+300,j+200,k)
end;
readln;
CloseGraph;
end.
代码在Windows XP SP2，FPC 2.0下通过编译，麻烦大家帮忙报告一下程序运行是否正常（上次有人告诉我说我写的绘图程序不能编译）。在我这里，程序运行的结果如下：
这个美丽的分形图形表现的就是f(z)=z^2-0.75时的Julia集。考虑复数函数f(z)=z^2+c，不同的复数c对应着不同的Julia集。也就是说，每取一个不同的c你都能得到一个不同的Julia集分形图形，并且令人吃惊的是每一个分形图形都是那么美丽。下面的六幅图片是取不同的c值得到的分形图形。你可能不相信这样一个简单的构造法则可以生成这么美丽的图形，这没什么，你可以改变上面程序代码中c变量的值来亲自验证。
c = 0.45, -0.1428
c = 0.285, 0.01
c = 0.285, 0
c = -0.8, 0.156
c = -0.835, -0.2321
c = -0.70176, -0.3842
类似地，我们固定z0=0，那么对于不同的复数c，函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于某个复数c，函数f(z)=z^2+c从z0=0开始迭代是否会发散到无穷。我们同样用不同颜色来表示不同的发散速度，最后得出的就是Mandelbrot集分形图形：
前面说过，分形图形是可以无限递归下去的，它的复杂度不随尺度减小而消失。Mandelbrot集的神奇之处就在于，你可以对这个分形图形不断放大，不同的尺度下你所看到的景象可能完全不同。放大到一定时候，你可以看到更小规模的Mandelbrot集，这证明Mandelbrot集是自相似的。下面的15幅图演示了Mandelbrot集的一个放大过程，你可以在这个过程中看到不同样式的分形图形。
网上可以找到很多小程序实现Mandelbrot集的放大过程。把上面给出的代码改一改，你也可以写出一个这样的程序来。
Update：2011 年 8 月 31 日，我对这个话题做了更进一步的讨论 http://www.matrix67.com/blog/archives/4570
