某日凌晨4点多，网友Superwyh发来短信说，他梦到了这样一个颇具启发性的问题：如果我们能够证明两个数之间不存在其它的数，这是否足以说明这两个数是相等的？正好当时我还没睡，稍微想了一下，发现这个命题是成立的，因为它的逆否命题显然成立。倘若两个数不相等，那它们之间一定能够插入其它的数（例如这两个数的算术平均值）；反过来，如果两个数之间无法插入别的数，这两个数自然就应该相等了。
这个命题是相当具有启发性的。或许有人会想，能不能用这一思路去证明两个数相等呢？
关于两数是否相等的争论，最著名的就是那个关于0.9999….和1是否相等的问题了。这一问题理解起来简单，细想起来争议颇大，真可谓是一个全民化的数学争论，与著名的Monty Hall问题有得一拼。不了解极限概念的人可能会说，不管你在后面写多少个9，它都不能达到1的，量变和质变存在本质上的区别。因此，当高中数学课上老师明确指出0.9999….精确地等于1时，还是有不少人瞠目结舌，甚至高声反对。
无穷
最牛的图纸：Escher网格
Escher在创作上面这幅画时曾经做了一张草图。受此启发，Steve Witham绘制了下面这张图纸。在这样的图纸上作图要有多牛B就有多牛B。假如以左下角的那个小圆点为(0,0)，曲线y=1走着走着就变成y=1/4了，而x=1则慢慢变为了x=4。
假如宇宙是有界的……
看完Proofs from THE BOOK的几何部分，我决定把书又放一放，开始阅读Infinity and the Mind。我承认我不该在当代文学史课上读这本书——读到第15页时，我看到了一段非常有趣的文字，竟然在课堂上放声大笑出来。不知道大家之前是否见过这个“思维实验”，我好像是第一次见到，它真的好搞笑。
历史上，不同的人对宇宙空间有着不同的见解。古罗马哲学家Lucretius认为，宇宙是无限的。让我们来看一看他的经典论证。假设宇宙是有限的。我们往宇宙的边界投掷一根标枪。则我们将看到以下两种情况之一：这根标枪穿过边界飞向远方，这说明宇宙并无边界，它是无限的；或者这根标枪一头装上宇宙边界停了下来，这说明边界外“有东西”挡住了标枪，同样说明宇宙是无界的。
Update: 其实我想说的是，笑点不是古人的论证与现代科学的差距，而是论证自身用到的二难性所带来的滑稽效果与逻辑推理出奇宏大的力量；正如证明上帝不是万能的（上帝能否创造一块连自己也举不起来的石头），或者大球小球落下去的速度一样快之类的思维实验，它们总是让人会心一笑。
无限长的金属杆：理想模型带来的悖论
有些时候，数学模型和物理世界相结合可能会得出一些不可思议的悖论，Gabriel喇叭就是最经典的例子。这里，让我们来看另一个有趣的例子。
假设有一个无穷大的桌面，上面垂直地树立着一根有限长的金属杆。在这根金属杆的顶端用铰链连接一根无穷长的金属杆。这根无穷长的金属杆可以绕着活动关节处上下转动。让无穷长的金属杆随重力自由活动。注意到夹角α绝对不可能小于90度，因为我们的金属杆和桌面都是理想刚体，它们不能相交、穿透。这样的话，α只可能是90度。于是，荒唐的一幕发生了：这根无穷长的金属杆平行地悬在桌面上空，但却只有端点处这一个支撑点。
来源：http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/Infinity/InfiniteRod.shtml
停机问题、Chaitin常数与万能证明方法
高中一次英语课上，英语老师问我们，如果你有机会乘坐时光机回到过去，你想利用这次机会来干啥。“人上一百，形形色色”这句老话得到了完美的验证。什么“回去看看四大美女”呀、“看看金字塔是怎么建造的”呀、“回到三年前的那个风雨交加的夜晚握住她的手深情地告诉她其实我不想让你离开我你知道你走了之后我有多么痛苦吗”之类的东西，各种稀奇古怪的想法都被我们说了个遍。我还记得当时我说的啥——一个无比实用的雕虫小技。我说，我就想回到一个星期前，然后去买彩票。发明一个新东西并不是关键，关键是你怎么去使用它。
最奇怪的幻想总是来自于最奇怪的需求。大家有过这种经历吗？看到自己写的程序运行了半天都还没有任何结果，于是开始纠结，到底是再等一会儿呢还是强行终止了检查一下看程序写错没；犹豫了半天决定杀掉进程后，检查了半天又发现程序没有写错。于是开始怨念，早知道程序没有死循环的话刚才就多等一会儿了。此时，你会突然开始幻想，有没有什么编译器能够事先告诉你你的程序是否会无限运行下去？虽然编程判断一段代码是否会无限执行下去很可能会相当的困难，但我们仍然不排除会有某个天才程序员想出了一个比三角恋爱更加复杂的算法，花它五年的功夫为他心爱的编译器写出了这样一个强大的插件。为什么不可能呢？这个东西看上去似乎比时光旅行机更现实一些。或许我们会在某个科幻电影中看到，一个程序员在黑黢黢的屏幕上输入了几个数，敲了一下回车，然后屏幕上立即用高亮加粗字体显示“警告：该输入数据会导致程序无限运行下去，确定执行？(Y/N)”。如果有一天，这一切真的成为了现实，那么你能利用这个玩意儿来做些什么实用的、有价值的事情？如果我说你能靠这玩意儿发大财你相信么？