你认为，是否有可能把全体正整数染成红蓝二色，使得不存在无穷等差数列，数列中的所有数都是一种颜色？如果你认为存在这样的染色方案，请给出一个构造方法；如果你认为不存在，证明之。在看下面的答案之前，不妨先仔细思考一下。
事实上，满足题意的染色方案是存在的，构造方法非常简单，非常直接，非常暴力。显然，无穷等差数列只有可数个，不妨把它们分别叫做A_1, A_2, A_3, …。现在，如果我们能够构造两个数列r_1, r_2, r_3, …和b_1, b_2, b_3…，使得对于每一个i，r_i和b_i都在数列A_i中，并且r数列中的每个数都和b数列中的所有数都不相同。这样，把r数列中的所有数染成红色，把b数列中的所有数染成蓝色（其它未出现的数随意染色），就能保证每个无穷等差数列都包含了至少两种颜色。
而这样的r数列和b数列显然存在，因为每一次选择新的r_i和b_i时，无穷数列A_i中都只有有限个数不能选，因此r_i和b_i永远都有选的。
Update: 地基层网友给出了一个更巧妙、更简单的构造方法：对全体正整数倍长间隔染色，即把1染成红色，2和3染成蓝色，4到7染成红色，8到15染成蓝色……。显然，当染色区间的长度大于公差时，等差数列最终都将一截一截地落在不同的染色区间中。