问题1： 请找出所有满足a^2 + b^2 = c^2的三元组(a,b,c)，其中a、b、c三个数都是Fibonacci数。
答案： 你被忽悠了。注意到一组勾股数中绝对不可能有相等的数，而对于任意的m < n < p，以Fm、Fn、Fp为边长的三角形都不存在，因为Fm + Fn ≤ Fn-1 + Fn = Fn+1 ≤ Fp始终成立。
问题2： 求以(Fn, Fn+1, Fn+2)、(Fn+3, Fn+4, Fn+5)、(Fn+6, Fn+7, Fn+8)、(Fn+9, Fn+10, Fn+11)为顶点的四面体的体积，其中Fn表示第n个Fibonacci数。
答案： 你又被忽悠了。事实上，这个四面体根本就不存在。事实上，对任意m、n、p、q，以(Fm, Fm+1, Fm+2)、(Fn, Fn+1, Fn+2)、(Fp, Fp+1, Fp+2)、(Fq, Fq+1, Fq+2)为顶点的四面体都不存在，因为它们都落在平面x+y=z上，四个点共面，所构成的四面体体积总为0。
摘录几道题目。
计算1·2^2 + 2·3^2 + 3·4^2 + … + 19·20^2
原式 = (1^3 + 2^3 + … + 20^3) – (1^2 + 2^2 + … + 20^2) = 44100 – 2870 = 41230
求2^x = 3^y – 1的所有正整数解
x=1时(1,1)是一个解；当x>1时，方程模4后左边永远等于0，右边则是(-1)^y – 1，可知y为偶数。令y=2z，那么有2^x = (3^z – 1)(3^z + 1)，这就要求3^z-1和3^z+1都是2的幂；但它们只相差2，因此它们只有可能是2和4，于是z=1，即原方程的另一个解为(3,2)。
圆周上有2008个点。选择两个点连成一条线，再选另外两点连一条线，这两条线段相交的概率为多少？
给定四个点，在三种连接方案中恰有一种会发生相交。取遍所有C(2008,4)种组合，相交的总情况数总是占了1/3，因此所求的概率就是1/3。
小学时经常在计算器上面按12345679这个神秘的8位数。这个数牛就牛在，它乘以9的结果正好等于111111111。你可以在计算器上输好12345679，然后问MM“你的幸运数字是多少”；如果她说“7”，你就在计算器上按“乘以63”，计算器上将会显示出清一色的7字，看上去无比壮观。
假如123456789×9=1111111111的话，我倒不会觉得奇怪。网上流行过一个火星帖子，写了一大堆诸如111111111 * 111111111 = 12345678987654321的式子来展示数学之美，以至于大家会认为123456789×9的结果也一定是一串很有规律的数字。因此，如果我不在这里说一句123456789×9其实并不等于1111111111的话，估计很多人都发现不了问题。事实上，123456789×9=1111111101，偏偏就差一个“1”。而怪就怪在，去掉被除数中的数字“8”，偏偏又有了12345679×9=111111111，一个极其别扭的算式反而得到了完美的结果。不要让你的直觉被数学之美所蒙蔽，数学上有大量出人意料的、看上去很不对称的结论。
为什么偏偏要少一个“8”呢？难道这真的是算术中的一个不可抹去的疤痕？我们急需要寻求一个解释，填补上算术中的这个不和谐的“漏洞”。一种解释是，我们看到了123456789×9=1111111101并不美观，想要对其进行改造，进而得到(123456789+1)*9 = 1111111101+9 = 1111111110，于是(123456789+1)*9/10 = 12345679*9 = 111111111。用这种办法的确可以解释“迷失的8”，不过这个解释并不漂亮。为了寻求一个更好的解释，我们来看一看111111111和9的关系。
密码学的应用范围非常广泛。每一样简单的社交活动里都有很大的学问。考虑这样一个问题，两个人想通过一部电话打牌，但他们都不信任对方。有没有可能仅通过一部电话实现扑克牌协议，并且保证游戏的公正性呢？
扑克牌的信息隐蔽性带来了很多与密码学协议相关的有趣问题。两个象棋大师可以在洗澡间一边冲澡一边大喊“炮八平五”、“马八进七”，一对围棋情侣可以在床上一边亲热一边呻吟“点三三”、“拆二”。等事情办完了，一盘精彩的棋局或许也就结束了。这些棋类游戏之所以可以“盲下”，就是因为在棋类游戏中，双方的局面信息都是完全公开的。不过，打牌就是另外一码事了。你说你出方片7，我怎么知道你有一个方片7？事先发牌？那谁来负责发牌呢？怎样发牌呢？难道我告诉你“发到你手中的是两张3一张5一张8一张9”？这样一看，两个人“盲打扑克牌”似乎是不可能的了，要么需要借助道具，要么需要第三者的帮助。不过，运用密码学知识，我们可以设计一套扑克牌协议，该协议能够实现随机的、隐蔽的、公平的发牌，并且不需要其它东西的帮助。我们以一手五张牌为例，说明如何实现“两人各摸五张牌”的程序。
让我们来看一个很实用的问题：A和B两位女士希望知道她们俩哪个年龄大，但又都不愿意透露自己的年龄。有什么方法能够让她们在不泄露年龄的情况下比较出年龄大小呢？我们假设双方都是诚实可信的。她们会严格遵守协议并且不会撒谎。她们唯一不希望做的仅仅是泄露自己的年龄。
不妨设A的年龄为a，B的年龄为b。为简便起见，假设这两个数都是21到30之间的整数。下面这个协议可以让双方比较出a和b的大小，而不透露a和b的实际值。这个协议也不需要第三方的参与。
协议开始前，B生成一对RSA钥匙，例如n=3233, e=17, d=2753。首先，A选取一个大随机数x，比方说1117。A用B的公开钥匙给随机数1117加密，得到密文1652。A把1652减a的值发给B。如果A是一个22岁的漂亮MM，那么B实际接收到的数就是1630。
接下来，B尝试用私人密钥来恢复x。由于B不知道a是多少，于是B枚举所有21到30之间的整数，用私钥对
1651, 1652, 1653, 1654, 1655, 1656, 1657, 1658, 1659, 1660
这10个数分别解密，得到的结果分别为
527, 1117, 1499, 2606, 3026, 3169, 3043, 1353, 1053, 1633