Benjamin Franklin是一个与Leonardo da Vinci同样神秘的人，他是一个伟大的物理学家、发明家、文学家、实业家、政治家、思想家、社会活动家。他一生中留下了许多的迷，电影National Treasure里提到的绝大多数关于Benjamin Franklin的事情都是真的。刚出版的一本名为Benjamin Franklin's Numbers: An Unsung Mathematical Odyssey的书中提到，人们还长期忽视了Benjamin Franklin的一些数学成就。Franklin曾计算过战争的经济开销，曾做过人口数预计，这都是没有先例的。其中，最有趣的数学创造还是要数Franklin的“另类幻方”。
    一个3×3的幻方是这样的一个九宫格，格子里写有1到9这9个数字，每一行、每一列和两条对角线上的三个数加起来都是一个相同的数。当然，更大一些的幻方也是存在的，例如你可以用前16个正整数排列成4×4的幻方。Franklin发明了一些另类的幻方，它的要求更加严格，但看上去似乎更有意思一些。Franklin在一封信中写道：“我不满足于这些普通的幻方，这都是很普遍、很简单的东西了。我给我自己强加了一些任务，然后成功地创造出了一些具有其它各种性质的幻方，它们看上去更加神奇。”Franklin创造了下面这个8×8的幻方，每种颜色的数字加起来都等于260，不同寻常的是，你有至少六种方法去解读它。
  

    更牛B的是Franklin的16×16幻方，他称它为“史上最神奇的幻方”。在这个幻方中，每一行、每一列和每一个“/”形区域内的数字和都是2056。更不可思议的是，每一个4×4的子正方形内的数字之和也是2056 ！
  

    Franklin仍不感到满足。Franklin想，既然有“幻方”，为什么没有“幻圆”？于是Franklin构造出了下面这个图形。这个图形里，每一条半径、每一个同心圆和图中画出的每一个偏心圆内的数字加起来都是360。
  

    你可以从下面这个图中看出上图的偏心圆是怎么画出来的。
  

阅读更多：http://blog.sciencenews.org/mathtrek/2008/01/benjamin_franklin_plays_sudoku.html

    将123456789翻一倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：

123456789 x 2 = 246913578

    我们再次将246913578翻倍，发现：

246913578 x 2 = 493827156

    结果依旧使用了每个数字各一次。操，没完了吗？我们继续翻倍：

493827156 x 2 = 987654312

    牛B了，一个很有特点的数987654312，显然每个数字又只用了一次。
    你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：

987654312 x 2 = 1975308624

    又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

1975308624 x 2 = 3950617248

    恐怖了，又是每个数字各出现一次。
    出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。
    但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了一次例外：

3950617248 x 2 = 7901234496 <– 第一次出现例外

    于是，我们不得不相信，前面这一切很可能只是一个巧合，它背后并没有什么简单的原理。
    即使有办法解释这种巧合，解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。

10. 2008是所有元素均为非负整数，每一行每一列的数字和都等于3的4×4矩阵个数；
9. 2008是使2^n+3恰为素数的第一个大于2000的n；
8. 2008是广义Fibonacci数列1, 8, 9, 17, … 的第14项；
7. 2008是质数251与它的各位数字之和的乘积；
6. 2008可以用两种方式表示成3个正整数的立方和。其中一种是10^3+10^3+2^3。你能找到另一种吗？
5. 2008是所有三位Lucas数的和；
4. 2008在三进制中是一个Kaprekar常数（就像十进制的6174一样）；
3. 2008表示了一个把时针和分针位置互换后仍然有意义的（精确到秒的）时刻（即00:20:08）；
2. 2008是在计算器上最小的需要24根数码管表示的数；
1. 2008将是你我最开心、最难忘、最有意义的一年！

    在各种文明的算术发展过程中，乘法运算的产生是很重要的一步。一个文明可以比较顺利地发展出计数方法和加减法运算，但要想创造一套简单可行的乘法运算方法却不那么容易。我们目前使用的乘法竖式计算看似简便，实际上这需要我们事先掌握九九乘法口诀表；考虑到这一点，这种竖式计算并不是完美的。我们即将看到，在数学的发展过程中，不同的文明创造出了哪些不同的乘法运算方法，其中有的运算法甚至可以完全抛弃乘法表。
    古巴比伦数学使用60进制，考古发现的一块古巴比伦泥板证实了这一点。这块泥板上有一个正方形，对角线上有四个数字1, 24, 51, 10。最初发现这块泥板时人们并不知道这是什么意思，后来某牛人惊讶地发现，如果把这些数字当作60进制的三位小数的话，得到的正好是单位正方形对角线长度的近似值：1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.41421296296…  这说明古巴比伦已经掌握了勾股定理。60进制的使用为古巴比伦数学的乘法运算发展带来了很大的障碍，因为如果你要背59-59乘法口诀表的话，至少也得背1000多项，等你把它背完了后我期末论文估计都已经全写完了。另一项考古发现告诉了我们古巴比伦数学的乘法运算如何避免使用乘法表。考古学家们发现一些泥板上刻有60以内的平方表，利用公式ab = [(a+b)^2 – a^2 – b^2]/2 可以迅速查表得到ab的值。另一个公式则是ab = [(a+b)^2 – (a-b)^2]/4，这说明两个数相乘只需取它们的和平方与差平方的差，再两次取半即可。平方数的频繁使用很可能加速了古巴比伦人发现勾股定理的过程。
    古巴比伦数学把除以一个数看作是乘以它的倒数，利用倒数表可以很方便的实现这种算法。倒数表开头的一部分是这个样子：

2      0; 30
3      0; 20
4      0; 15
5      0; 12
6      0; 10
8      0; 7, 30
9      0; 6, 40
10     0; 6
12     0; 5
15     0; 4
16     0; 3, 45
18     0; 3, 20
20     0; 3
….    ….

    
    古巴比伦人很早就发现，1/7是一个无限小数，怎么除也除不完。古巴比伦的倒数表里所有的数都是精确的小数，它们（在60进制中）都是有限小数。碰到无限小数时，他们会用取近似值的方法来解决。例如，古巴比伦人会通过1/13 = 1*(1/13) = 7*(1/91) ≈ 7*(1/90) = 7*(40/3600) = (7*40)/3600 来计算1/13的值。那个40就是查倒数表查出来的。

    古埃及数学使用了完全不同的乘法运算法。它们的乘法运算不需要借助任何辅助用表。古埃及人注意到，任何一个数都可以表示为若干个不同的2的幂的和。因此，你需要做的仅仅是不断将1和乘数进行翻倍。看看古埃及人如何计算46乘以22：

  46 x 22 = 1012
   1   22
   2   44     44
   4   88   + 88
   8  176  + 176
  16  352
  32  704  + 704
          ——-
            1012

    上面的演算中，左列是1不断翻倍的结果，右边是22不断翻倍的结果。选出左列的2, 4, 8, 32，它们的和正好就是被乘数46；那么把右列对应的数加起来就是乘法运算的最终结果。至于如何选出2, 4, 8, 32这四个数，一个简单的方法就是，不断选出左列里小于被乘数的数中最大的一个，然后当前被乘数减去它。比如，32是最大的数，用46-32后剩14；8是小于14的最大数，14-8后剩6；然后最大的小于6的数是4，6减去4后剩2，这样下来2+4+8+32正好就是被乘数46了。这其实就是二进制的经典应用，2, 4, 8, 32正好与46的二进制中的数字1一一对应。你可以在这里看到一些相关的东西。
    无独有偶，据说俄国农村曾产生过这样一种乘法算术法：将被乘数逐次减半，同时乘数依次加倍，那么找出所有左边的数是奇数的行，其右列的数的和就是答案。例如，下面的例子中，23, 11, 5和1都是奇数，于是右边对应的44, 88, 176和704的和就是乘法运算的结果。这个做法与古埃及的算术法完全一样，但看起来似乎更神奇一些。

  46 x 22 = 1012
  46   22
  23   44     44
  11   88   + 88
   5  176  + 176
   2  352
   1  704  + 704
          ——-
            1012

做人要厚道
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偶然发现的一个网页，希望大家别说我火星。
http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html