数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
作为一本数学趣题集， Mathematical Puzzles 一书中竟把仍未解决的数学趣题单独列为一章，可见这些问题有多么令人着迷。我从这一章里挑选了一些问题，在这里和大家分享一下。这本书是 04 年出版的，书里提到的一些“最新进展”其实已经不是最新的了；不过我也没有仔细考察每个问题当前的进展，因此本文的信息并不保证是 100% 准确的，在此向读者们表示歉意。
这篇文章很长，大家不妨用自己喜欢的方式马克一下，一天读一点。
经典 Geek 动画 Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在这一集中，教授 Farnsworth 发明了一种“心灵对换机”，它可以把两个人的思想互相对换，使得 A 的大脑跑进 B 的身体里，而 B 的大脑则跑到 A 的身体里。 Farnsworth 和 Amy 都想得到对方的身体，便成为了这台机器的第一对实验者。等到他们爽够了想换回来后， Farnsworth 却发现了一个严重的问题：已经互换过大脑的两个身体不能再次进行大脑对换操作。但这并不表示两个人完全没有希望回到自己的身体里—— Farnsworth 突然想到，或许可以用第三者作为一个临时的大脑储存空间，从而实现间接对换。正巧机器人 Bender 进了实验室，于是（身为 Amy 的） Farnsworth 和 Bender 又坐上了机器，这下 Farnsworth 的大脑便跑到 Bender 身体里了，而 Bender 的大脑则进了 Amy 的身体里。此时 Farnsworth 才意识到，引入一个第三者是不够的——再让（身为 Bender 的） Farnsworth 和（身为 Farnsworth 的） Amy 互换大脑，可以让 Farnsworth 恢复原状，但同时 Amy 的大脑会跑到 Bender 的身体里去；这样 Bender 和 Amy 的身体正好颠倒了，而他们却已不能再次使用机器。换句话说，要想恢复两个换位了的大脑，需要引入不止一个新的人。
但现在，问题已经变得更加复杂了——这下已经产生了三个大脑位置错乱的人。大家很容易联想到一个更一般的问题：给定 n 个人以及他们之前使用“心灵对换机”的记录，至少得引入多少个新的人，才能让所有人的大脑都“物归原主”呢？
书架的某一层里放了一套百科全书，但它们排列的顺序却是乱的。一个傻子想要把这套书排好顺序，也就是说他想要书架里的书从左至右分别是第 1 卷，第 2 卷，……，第 n 卷。他给这套书排序的办法是这样的：不断取出一本原应放在更左边的书，插进它该在的位置。比方说，某本书的卷号是 3 ，它的位置却是左起第 5 ，位于其目标位置的右侧。那么傻子就可以把这本书拿出来，插入当前左起第 2 本书的右边，把那些占了它位置的书挤到更右边去，而不管这一操作是否会破坏掉已经就位的书。注意到这种排序法很可能捡了芝麻，丢了西瓜，为了一本书的位置而破坏掉一连串原已排好的书，可谓是鼠目寸光，缺乏远见。我们的问题是，在哪些情况下这样的排序法最终一定能实现排序，哪些情况下可能会陷入永无止境的死循环？
昨天我突发奇想，写了几段Mathematica代码，生成了各种排序算法的内存变化图。图中每一个新的横行都表示数组的一次更新，数字大小用颜色来表示。你可以直观地看到这些算法是如何把乱序数组一点一点变为有序的。效果还是很令人满意的，不少算法的内存轨迹都相当美观，相当有艺术性。
图很大，我就不在首页上显示了，大家点“查看更多”看图吧。