紧接着，我们想问：是否任意一个多边形内都能找到内接矩形呢？有意思的是，答案也是肯定的。但此时，前一节我们用到的两种证明方法现在都派不上用场了，我们需要用到一些全新的手段。下面这个证明真可谓是巧妙到了诡异的地步，真不知是谁想出来的。
对于多边形边界上的任意两点 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) ，作出它们在三维空间中所对应的点 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, √(x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 。换句话说，把多边形放在水平面 z=0 上，对于多边形上的每一组无序点对 A 、 B ，在线段 AB 中点的正上方 |AB| 处作一个点。再把这个多边形本身加进去，我们就得到了一个三维空间中的封闭曲面。
可以看到，图中所示的例子中，这个曲面与自身相交了。这就表明，存在多边形边界上的两组点对 A 、 B 和 C 、 D ，它们满足线段 AB 和 CD 的中点重合，并且两线段一样长。这样，四边形 ABCD 就是多边形的一个内接矩形了。下面我们将说明，这个曲面一定会与自身相交。
（拜托转载时请用红色加粗字体标明，这是我古今数学思想课的期中论文，免得老师以为我是反过来抄的网上的文章。这门通选课的期中论文要求写数学与自己所在专业之间的联系。）
我们每天都在说话，每天都在用语言进行交流。语言文字对我们是如此的平常，以至于绝大多数人都不会注意到语言中一些非常难以解释的现象。昨天的汉语虚词研究课上，我们就谈到了这样一个有趣的问题：在表示“仅仅”的含义时，什么时候能够用“只”，什么时候能够用“光”？若不细想的话，大家或许会认为两者的用法完全一样。“我只吃苹果”可以说成“我光吃苹果”，“光有知识还不行”也可以说成是“只有知识还不行”。我们还可以举出更多的例子来，如“别光坐着”/“别只坐着”，“光说不做”/“只说不做”等等。凭借天生的归纳性思维，一个正常人有充分的理由猜想，在表示“仅仅”的含义时，“只”和“光”是通用的。而事实上，现代汉语词典中正是把“光”字解释为“只”。有趣的是，在我们质疑只找了四个例子是否足以说明二者等价时，殊不知这句质疑本身就成了一个反例：“只找了四个例子”不能换成“光找了四个例子”。类似地，“大会只来了748个人”也不能说“大会光来了748个人”。我们继续猜想，是不是“光”不能用在数量词前面呢？也不见得。当数量词不是实指而是虚指时，我们有时也能用“光”来修饰带有数量词的名词。例如，在表示“只吃几个苹果”、“只吃一些苹果”的意义时，“光吃两个苹果”的说法是很顺口的。另一些例子则表明，“光”的用法似乎与它所修饰的名词无关。“我只当到团长”不能说成是“我光当到团长”，但怪就怪在“我只认识团长”却又偏偏可以说成是“我光认识团长”。“当到团长”和“认识团长”有什么不同呢？仔细揣摩两者的意思，我们似乎体会到了一些微妙的差别：“当到团长”是一个阶段性的、进度性的、里程碑性的概念，它必须事先经过“当到连长”、“当到营长”等事件；但“认识团长”就不一样了，没有任何规定限制我们在“认识团长”之前必须“认识连长”。同样的，“找出四个例子”是以“找了三个例子”为前提的，“来了748个人”也不是一下子就能实现的。
问题算是想通了，但怎么来阐述它呢？在这个问题上，语言学陷入了一个困境。此时，引入数理逻辑语言对于解释这种语言现象出乎意料的方便。我们说，在副词“只”修饰的事件所处的“域”中如果存在蕴含关系，则这里的“只”不能用“光”来替代。例如，提起“吃两个苹果”，我们脑海中形成的事件集合一定是“吃一个苹果”、“吃两个苹果”、“吃三个苹果”等等，而后者必然蕴含前者，因此“只吃两个苹果”不能说成“光吃两个苹果”。类似的，“当到团长”必然推出“当到连长”，但有“认识团长”不见得有“认识连长”，因此两者与“只”和“光”的搭配情况是不同的。
去年就看过Proofs from THE BOOK第一章中的素数无穷多的拓扑学证明，不过当时似乎并没有看懂。今天看到cut-the-knot的一篇新文章，又把Proofs from THE BOOK拿出来翻了一下，终于看明白了，果然是一个令人拍案叫绝的经典证明，可谓又一神来之笔。
定义N(a,b) = {a + nb| n∈Z}，例如N(1,3)就等于{…, -5, -2, 1, 4, 7, …}。每一个N(a,b)实质上都是一个以b为公差的“双向无限等差数列”。我们说整数集Z上的一个子集S是开的，如果集合S为空，或者对于任意一个a∈S，总能找到一个b>0使得N(a,b)⊆S。形象地说，开集的意思就是，集合中的每一个元素都能在集合内扩展出一个无限长的双向等差数列。我们又称一个集合S是闭的，如果它是某个开集的补集。
显然，有限个开集的并集仍然是开集。
假设S_1和S_2都是开集，如果a∈S_1∩S_2，并且N(a,b1)⊆S_1，N(a,b2)⊆S_2，那么S_1∩S_2中有一个公差为b1*b2的含a的双向无限等差数列，也即a∈N(a, b1*b2)⊆S_1∩S_2。这说明，有限个开集的交集仍然是开集。
再假设C_1和C_2都是闭集。由De Morgan定律，C_1和C_2的并集就相等于它们各自的补集相交后再取补集，由定义可知它们的补集都是开集，而由上面的结论可知开集的交集仍是开集。于是，C_1和C_2的并集是某个开集的补集，这说明闭集的并仍然是闭集。类似地，闭集的交集相当于补集的并集的补集，它也仍然是闭的。
还有两点值得引起我们注意：
1. 任意非空开集都是无穷的。这由定义可以直接看出来。
2. 任一双向无限等差数列N(a,b)既是开集又是闭集。由定义可知N(a,b)是开集，而同时N(a,b)又可以看作是N(a+1,b)∪N(a+2,b)∪N(a+3,b)∪…∪N(a+b-1,b)的补集，这是有限个开集的并集的补集，说明N(a,b)也是闭集。
Klein瓶是拓扑学中最神奇的几何体之一，以至于谁家里要是有一个Klein瓶的话我愿意花500块钱把它买下来。不过呢，瞻仰不到Klein瓶也没关系，不要忘记Geek始终是一种富有创造力、喜欢自娱自乐的生物。做不出玻璃瓶子不要紧，做一个“山寨Klein瓶”可谓是出奇的简单。你只需要截取长袖T恤的两条袖子，在其中一个的表面上打一个洞，让另外一个袖子穿过去，然后把对应的口子缝起来即可。然后呢，以后无聊时你就又多了一件事情可以干了：把这个玩意儿拿出来，不停地、没完没了地把“里面”翻出来。
