环面多面体，即亏格为 1 的多面体，直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近，我在研究一些和环面多面体相关的话题，在这里和大家分享一些我的发现。
拓扑学
趣题：切完大饼和蛋糕，让我们切一切甜甜圈
我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？
- 3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？
- 4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？
- 3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？
提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。
Borromean rings的另一个离奇的性质
下图中的图 (a) 是由三个绳圈组成的。这是一个非常经典的图形，叫做 Borromean rings 。 Borromean rings 有一个非常神奇的特点：它们是套在一起的，没有哪个绳圈能从中取出来；但是，仔细观察你会发现，每两个绳圈之间都并没有直接套在一起！
Borromean rings 还有一个听上去更离奇的性质：如图 (b) 所示，如果把其中任意两个绳圈真的套在一起，那么第三个绳圈就会自动脱落掉！为了看出这一点来，我们可以像图 (c) 那样，把其中一个绳圈缩小，让它紧紧地裹在另一个绳圈上，这下就很容易看出，它已经不再对第三个绳圈有任何限制作用了。
五个有趣的拓扑变换问题
如果你喜欢上次的空间想象能力挑战，你一定会喜欢 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书。书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题，在此与大家分享。注意游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。
1. 能否把左图连续地变形为右图？
2. 能否把左图连续地变形为右图？
空间想象能力挑战：把左图连续地变换为右图
为了说明“同痕”这一概念直观上并不容易把握，《The Knot Book》一书中举了一个经典的例子。如下图，左图是一个有三个洞的立体图形，右图是被挖出了三条通道的立方体（但其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈）。令人难以置信的是，两者之间竟然是同痕的，换句话说前者可以连续地变形成为后者。你能想象出这个变换过程吗？
