这道题的答案有几个字母？答案：four。
有趣的是，这是唯一的答案。如果令函数 f(n) 表示非负整数 n 的英文表达中有多少个字母（不算空格和短横线）， n=4 是该函数的唯一不动点。
n 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
f(n) 4, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 3, …
事实上， @IanMathmogician 发现了一个更有趣的“数学冷知识”：任取一个 0 到 100 之间的整数 n ，算出这个数的英文表达中的字符个数，再算出所得结果的英文表达的字符数，并这样一直迭代下去，最后总会得到数字 4 。我用 Mathematica 做了一张图片，可以让大家直观地看到，这真的可以说是条条大路通向数字 4 啊。
数学猜想并不总是对的，错误的数学猜想不占少数。关键在于，有时反例太大，找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子，里面提到的规律看上去非常诱人，要试到相当大的数时才会出现第一个反例。
千万不要迷信规律
圆上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？
上图显示的就是 n 分别为 2 、 3 、 4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。
曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。
这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重力作用更显著，但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上，但可惜它们又离你太远了，影响也不会太大。近的部分太小，大的部分又太远，这两者很可能是一种平衡的状态。
今天看到一个有趣的证明，来源在这里。
Cantor 集是一个简单而又神奇的分形图形。把 [0, 1] 三等分，挖去中间那一段（即挖去 (1/3, 2/3) ），然后把剩下两段也都分别进行三等分，并挖去各自中间的一段。这样无限地进行下去，最后得到的极限点集就是 Cantor 集了（上面那张图不是分割线，是 Cantor 集的一个示意图）。我们通常把 Cantor 集记作 C 。Cantor 集具有很多神奇的性质：它的 Lebesgue 测度为 0，但它却包含有不可数个点；它里面的每个点都不是孤点，但它却又是无处稠密的。你可以在这里看到一些具体的分析。
Cantor 集还有很多其他的性质。若 A 、 B 是两个集合，定义 A + B = {a + b | a ∈ A 并且 b ∈ B} ，也就是 A 中的某个元素与 B 中的某个元素相加可能得到的所有结果。下面我们将证明，C + C = [0, 2]。
在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。
锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造（已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点），进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。
事实上，D. Pedoe 教授还提过另外一个问题：给定 A 、 B 两点，只用锈规能否作出 A 、 B 连线的中点？注意，由于没有直尺，线段 AB 实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。
前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。