在所有周长相等的长方形中，正方形拥有最大的面积；在所有周长相等的平面图形中，圆拥有最大的面积；在所有表面积相等的长方体中，正方体拥有最大的体积；在所有表面积相等的立体图形中，球拥有最大的体积。所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗？ George Pólya 在 Mathematical Discovery 一书中的第 15 章里举了下面这个例子。
在给定圆周上选取四个点构成一个四边形，那么正方形的面积一定是最大的吗？答案是肯定的。只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处，我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处，使得整个图形的面积变得更大。好了，我们现在的问题是，在球面上选取八个点构成一个顶点数为 8 的多面体，那么正方体一定是体积最大的吗？
如果叫我说出一个我最喜欢的数学定理，之前我可能会说 Monge 定理；不过现在，我可能会说 Marden 定理了：
设 p(z) 是一个复数域上的三次多项式， z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三个根，它们在复平面上不共线。那么，在这个复平面上存在唯一的椭圆，使得它与三角形 z1z2z3 的各边都相切，并且都切于各边的中点处。并且，这个椭圆的两个焦点是 p'(z) 的两根。
读完这个结论以后，你一定会被数学之美深深地打动。这个结论出现在了 Morris Marden 于 1945 年发表的一篇论文里，因而被 Dan Kalman 称为 Marden 定理。 Marden 本人则认为，这个结论最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年发现并证明的。下面我们简单地来证明一下这个结论，证明过程出自 Dan Kalman 在 2008 年发表的获奖论文 An Elementary Proof of Marden’s Theorem 。
下面是趣题集 Which Way Did the Bicycle Go 中的第 71 个问题。如下图，在这个六边形的围墙中，如果站在图中圆点的位置，那么有两面墙不能被完全看见（其中一面墙完全看不见）。能否设计出一个多边形围墙，使得站在围墙里面的某个地方后，所有的墙都至少有一部分是不可见的？
下面是 IBM Ponder This 2013 年 5 月的谜题：写一个程序来计算 f(x) = 1 + x + x2 + x4 (mod 2233393) 。你的程序只能使用以下三种语句，其中等号表示赋值，变量 2 和变量 3 的位置都可以用常量来代替：
(1) 变量 1 = 变量 2 + 变量 3
(2) 变量 1 = 变量 2 * 变量 3
(3) 变量 1 = 变量 2 mod 变量 3
很容易想到，一种最基本的解法如下：
a = x * x
b = a * a
c = a + b
d = c + x
e = d + 1
f = e mod 2233393
这道谜题则要求你找到另外一种解法，它必须同时满足下面两个额外的要求：
(1) 最多使用两次变量与变量之间的乘法运算（但允许多次变量与常量之间的乘法运算）
(2) 最后两次运算分别是一次变量与变量之间的乘法运算和一次取余运算
