正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这是古希腊人就发现的五种正多面体，它们拥有最高标准的对称性。这五种正多面体又叫做 Platonic 体，它们在古希腊的哲学观念中占据着至关重要的地位。 Leonhard Euler 发现，多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 一定满足公式 V – E + F = 2 ，这叫做 Euler 多面体公式。利用这个公式，我们可以证明正多面体只有五种。假设一个正多面体的每个面都是正 p 边形，那么所有 F 个面一共就有 p · F 条边；每两条边拼在一起形成了一条棱，因而总的棱数就是 E = p · F / 2 。反过来， F 就应该等于 2 · E / p 。不妨再假设每个顶点处都汇集了 q 条棱，那么总的棱数似乎应有 q · V 个；但这样计算的话，每条棱都被重复算了两次，因而总的棱数实际上应该是 E = q · V / 2 。反过来， V 就应该等于 2 · E / q 。另外， Euler 的多面体公式告诉我们， V – E + F = 2 始终成立。
把上面几个式子合在一起，于是得到：
2 · E / q – E + 2 · E / p = 2
整理可得：
1/p + 1/q – 1/2 = 1/E
因此， 1/p + 1/q 一定大于 1/2 。但是，正多面体每个面至少都有三条边，每个顶点也至少汇集了三条棱，因此 p 和 q 都是大于等于 3 的整数。要想 1/p + 1/q > 1/2 ，只有以下五种可能：
- p = 3 ， q = 3
- p = 3 ， q = 4
- p = 4 ， q = 3
- p = 3 ， q = 5
- p = 5 ， q = 3
这正好对应于那五种正多面体。最近 Localhost-8080 沉迷于折纸，我也因此学习了不少与多面体相关的东西。想不到，这些看似老生常谈的东西，里面的水可深着呢。这五种正多面体表面上只是问题的五个不同的解，但互相之间却有着出人意料的联系。我们再列一个更加完整的表格，有意思的东西会慢慢呈现出来：
| 名称 | 面数 F | 顶点数 V | 棱数 E | 每个面的边数 p | 每个顶点处的棱数 q |
| 正四面体 | 4 | 4 | 6 | 3 | 3 |
| 正方体 | 6 | 8 | 12 | 4 | 3 |
| 正八面体 | 8 | 6 | 12 | 3 | 4 |
| 正十二面体 | 12 | 20 | 30 | 5 | 3 |
| 正二十面体 | 20 | 12 | 30 | 3 | 5 |
