无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：
初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。
让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上，两人遵循棋子的走法，轮流移动棋子，但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角，谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置，那么你愿意先走还是后走？显然，答案与我们放的是什么棋子有关。
这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象，不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角，所以我们也就不分析了。因此，我们只需要研究王、后、车三种情况。
你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？下面就是 26 个这样的问题。如果你感兴趣的话，你可以先扫一遍所有的问题，再逐一阅读答案，看看你猜对了多少。这篇文章很长，你可以考虑把它加入书签，每天看几个问题。
1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏， A 、 C 两人同盟， B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人（每人获得 13 张牌）后，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．A 、 C 两人手中都没有梅花
B．A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花
C．上述两种情况的出现概率相同
A 、 C 两人手中都没有梅花，等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花，它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此，这个问题的答案显然是 C 。
著名的四色定理（four color theorem）告诉我们，如果一个地图由若干个连通区域构成（没有飞地），那么在给每个区域染色时，为了让相邻区域的颜色不同，最多只需要四种颜色就足够了。不过，这个结论成立有一个条件：整个地图已经事先确定了。如果我们每次只增加一个区域的话呢？具体地说，如果每次你给一个区域染色之后，我再画出下一个区域，并且之前已经染好颜色的区域不能再修改了，那么四种颜色还足够吗？这里，我们假设，在染色时，你总是遵循一个非常朴素的贪心策略：用第一个合法的颜色给每个新的区域染色。下面这个例子告诉我们，在这些假设下，四种颜色就不够了，有时五种颜色是必需的。
我们的问题就是，在这些假设下，五种颜色就一定够吗？有没有可能构造出某个情况，使得六种颜色是必需的？有没有可能构造出某个情况，使得七种颜色是必需的？
看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副牌中取出大小王，将剩余的 52 张牌洗好，并在桌子上从左至右地把它们摆成一排，每张牌都是正面朝上。然后，看守让囚犯 A 来到桌前，允许囚犯 A 观察牌面，并交换其中两张牌的位置。接着，看守将囚犯 A 关回牢房，把所有牌全都翻到背面朝上（但位置不变），让囚犯 B 来到桌前。看守随便报出一张牌的花色和点数（比如“梅花 3”），要求囚犯 B 找出这张牌。囚犯 B 每次可以翻开任意一张尚未翻开的牌，但一共只有 26 次机会。如果囚犯 B 在这 26 次机会之内找到了看守想要的牌，则两名囚犯赢得游戏，无罪释放；如果囚犯 B 翻开了 26 张牌之后，还没找到看守想要的牌，则两名囚犯输掉游戏，立即死刑。在整个游戏开始之前，两名囚犯可以商量一个策略；游戏开始后，两人就不能有任何其他形式的交流。果不其然，这又是一个关满了数学天才的监狱。两名囚犯碰头后，很快就商量出了一种必胜的策略。这种必胜的策略是什么？