紧接着，我们想问：是否任意一个多边形内都能找到内接矩形呢？有意思的是，答案也是肯定的。但此时，前一节我们用到的两种证明方法现在都派不上用场了，我们需要用到一些全新的手段。下面这个证明真可谓是巧妙到了诡异的地步，真不知是谁想出来的。
对于多边形边界上的任意两点 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) ，作出它们在三维空间中所对应的点 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, √(x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 。换句话说，把多边形放在水平面 z=0 上，对于多边形上的每一组无序点对 A 、 B ，在线段 AB 中点的正上方 |AB| 处作一个点。再把这个多边形本身加进去，我们就得到了一个三维空间中的封闭曲面。
可以看到，图中所示的例子中，这个曲面与自身相交了。这就表明，存在多边形边界上的两组点对 A 、 B 和 C 、 D ，它们满足线段 AB 和 CD 的中点重合，并且两线段一样长。这样，四边形 ABCD 就是多边形的一个内接矩形了。下面我们将说明，这个曲面一定会与自身相交。
时常感叹，造物者一定是一个数学家，能把数学之美如此完美地融入自然界。
国外网友制作的这个短片向大家展示了大自然中令人震撼的数学之美，非常漂亮，值得一看：
YouTube 链接：http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA
这本电子书的第五章非常牛 B ，里面讲到了一系列与多边形的内接图形有关的定理及其证明。有意思的是，同样是研究多边形的内接图形，当具体的研究对象不同时，证明手段也各有各的精彩，并且十分难得的是，这些证明都极具欣赏价值。读完这些巧妙的证明后，我迫不及待地想与大家分享。这里我们先来热热身，看一看最简单的情况：一个多边形内是否总能内接一个等边三角形。
答案是肯定的，任意一个多边形内总存在一个内接等边三角形。一个非常直观的证明是，令 P 为多边形边界上的一点， Q 点为多边形上的一个动点。以 PQ 为边作等边三角形，把这个三角形的第三点记作 R 。当 Q 离 P 点充分近的时候， R 显然在多边形内部；当 Q 点运动到离 P 点最远处 Q’ 时，多边形内的任意一点到 P 的距离都比 PQ’ 小，因此此时 R 点只可能在多边形外。但 R 的运动轨迹显然是连续的，因此在运动过程中它一定经过了多边形的边界。此时，我们就找到了多边形边界上的三个点 P 、 Q 、 R ，它们组成了一个等边三角形。
心电图数列 (EKG Sequence) 的定义简单而有趣：第一项为 1 ，第二项为 2 ，以后的每一项都是最小的和前一项不互质并且不曾出现过的数。换句话说，数列 a(1)=1 ， a(2)=2 ，且当 n>2 时取 a(n) 为所有满足以下两个条件的数中最小的那一个：该数与 a(n-1) 有大于 1 的公约数，并且该数与前面 n-1 项都不相等。心电图数列的前面 20 项为
1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20, 22, 11 …
为什么它叫做心电图数列呢？原因很简单——因为把它描绘在图象上时，看上去像一张心电图。
刚才在这里看到了如题所说的图像，立即想到用 Mathematica 验证一下。我选出了几个个人比较感兴趣的 k ，再用一句话便可输出所有对应 k 的图像：
kArray = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 36, 50};
For[i = 1, i <= Length[kArray], i++,
Export["F:\" <> ToString[kArray[[i]]] <> ".png",
ArrayPlot[Table[Boole[Length[Divisors[x*y]] == kArray[[i]]], {x, 1, 400}, {y, 1, 400}],
PixelConstrained -> {1, 1}, Frame -> False]]];
当 k=2 时，由于只有素数才有两个约数，因此所有点都是形如 (p, 1) 或者 (1, p) 的点，其中 p 为某个素数：
