有一根不均匀的绳子，烧完正好需要 1 个小时。如何用这根绳子测出半个小时的时间呢？答案很巧妙：把这根绳子的两头同时点燃，绳子烧完时正好就过了半个小时。更妙的是下面这个加强版：如何用两根这样的绳子来计时 45 分钟？答案是，把其中一根绳子的两头都点燃，同时点燃另一根绳子的其中一头；待到前一根绳子烧完之后，再把第二根绳子的另一头也点燃，于是便能测出 30 + 15 = 45 分钟了。
    一个有趣的问题自然而然地产生了：假如这样的绳子足够多，哪些时间能够用烧绳子的方法测出来呢？

    为了解决这一问题，让我们先把这个问题本身理清楚——“烧绳子测量时间”的“游戏规则”究竟是什么？首先，一根绳子（的任意一头）可以在第 0 时刻或者另外某根绳子烧完的瞬间点燃。另外我们假设，在同一时刻，我们可以同时点燃任意多根绳子。而由此测出的时间段则定义为从点燃第一根绳子到最后一根绳子烧完的总时间。
    用形式化的语言来描述，如果绳子两端分别在第 a 时刻和第 b 时刻点燃（其中 |a – b| < 1 ），那么绳子最终将在 (a + b + 1)/2 时刻烧尽。我们说某个时间点 x 是可以到达的，当且仅当存在两个可以到达的时间 a 、 b ，使得 x = (a + b + 1)/2 。显然，第 0 时刻是可以到达的。从第 0 时刻出发，不断用 (a + b + 1)/2 进行迭代，我们就能得到所有能够测出的时间了。   

     可以看到，随着迭代次数的增加，能够测量的时间越来越多，也越来越精确；不过，时间一去不复返，有些时间还是无法测量，绳子再多也没法弥补。

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数学教师 Suman Vaze 在业余时间里，把一个个经典的几何定理搬上了画布。不对称的几何图形蕴含了一种更深层的对称性，无疑带来了位于构图和色彩之外的另一种美。这下，似乎又有新的油画派别诞生了——几何定理派。

在平行四边形中，过图形中心的直线将平分整个图形的周长。在上面这个由三个半圆组成的图形中，同样的性质仍然成立。证明的任务就留给大家自己去做了。

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    最近看到一类有趣的问题：如何求解 f(f(x)) = g(x) ？我在网上简单搜索了一下，发现这里面真是大有文章。最先对这个问题进行系统研究的应该是 Hellmuth Kneser ，他把函数迭代的次数扩展到了非整数的情况，求解 f(f(x)) = g(x) 就可以更简单地说成是求解 g(x) 迭代 1/2 次后的结果，更形象的说法就是 g(x) 的“平方根”。 Hellmuth Kneser 还对 f(f(x)) = e^x 的解进行了研究，从之后的数学论文发表情况来看，这也是数学家们最关心的问题。

    e^x 的“平方根”究竟是什么样的呢？不妨假设满足要求的 f(x) 也是一个连续递增的函数，那么它的增长速度必然超过一切多项式函数（否则迭代的结果还是多项式），同时也必然小于一切指数形式的函数。而事实上，求解一个满足要求的 f(x) 并不难；稍作思考，我们就能够给出一个看似有些平凡的答案。

    取任意一个负数，记作 a 。选取任意一个在 (-∞, a] 上单调递增的函数，使得当 x 从 -∞ 增加到 a 时，函数值也从 a 增加到 0 。这样一来，当 x 趋于负无穷时， f(x) 趋于 a ， f(f(a)) 就正好趋于 0 了。但 f(a) = 0 ，那么 f(0) 就必须是 e^a ；而考虑到 f(0) ＝ e^a ，那么 f(e^a) 便只能取 1 了。同理，f(1) = e^(e^a)，而 f(e^(e^a)) 就等于 e 。以此类推，我们便得到了一连串满足要求的点。我们可以从 (-∞, a] 上的其它点出发，用同样的方法填充上述“端点值”之间的部分，得到满足要求的 f(x) 。

    根据这个思想，我们可以构造出一个具体的 f(x) 来。取 a = -1，在 (-∞, -1] 上定义 f(x) = e^(x+1) – 1，它的函数值正好从 -1 变到了 0 。在 (-1, 0] 上，则有 f(x) = e^(f^-1(x)) = e^(ln(x + 1) – 1) = (x + 1)/e 。对于其它的 x ，则递归地定义为 f(x) = e^(f(ln(x))) 。由此我们便得到一个分段函数，正是这个分段的办法才让它夹在了多项式增长和指数级增长之间：

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考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

 
答案：记 P_i 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P₁ + 2 * P₂ + 3 * P₃ + 4 * P₄ + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

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    把画框悬挂在钉子上，总是给人一种很不安全的感觉，如果钉子掉了的话，画框也会重重地砸在地上。像上图那样，把画框挂在两颗钉子上，看上去可就安全得多了——如果有一颗钉子掉了的话，画框仍然能够悬挂在另一颗钉子上，就好像上了双保险一样。
    今天，我们要考大家一个完全相反的蛋疼问题——如何把画框挂在两颗钉子上，使得去掉任意一颗钉子，画框都会掉下去？

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