14. 有意思的是，在数学历史上，一些很简单的结论竟然几百年来都未曾发现。直到 1977 年， Paul Erdős 和 George Szekeres 才发现，除了两头的 1 以外，杨辉三角同一行内的任意两个数都有公因数。证明这个结论。
答案：只需要注意到， a 乘以一个比 b 小的数之后还能成为 b 的倍数，这说明 a 和 b 一定有公因数。不妨设 0 < i < j < n ，则 C(j, i) < C(n, i) 。我们的命题可以由下述关系直接推出。 C(n, j) · C(j, i) = n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!) = n! / (i! (n - j)! (j - i)!) = n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!) = C(n, i) · C(n-i, j-i)
在处理最优化问题时，我们常常通过分析导函数来寻找极值点，因此往往希望目标函数是可导的；但在很多实际问题中，目标函数里经常带有取最大值函数，它的存在将破坏函数的可导性。一个有趣的问题由此产生：能否设计一个平滑的二元函数 f(x,y) ，它的效果近似于 max(x,y) ，足以用来代替最大值函数？在设计这样的函数时，下面这些条件需要尽可能满足：
· 函数简洁而美观
· 可以调整函数的“平滑度”
· 可以很方便地扩展到多个变量
今天学到了一个新的名词，Runge现象。1901年，Carl David Tolmé Runge意外地发现，用差值插值多项式逼近函数f(x)=1/(1+25x^2)时出现了一些反常的现象。如图，灰色的粗线就是Runge函数在[-1,1]上的图象。蓝色虚线是过[-1,1]上的6个等距点所得到的5次多项式，红色虚线是过[-1,1]上的10个等距点所得到的9次多项式。可以看到，当次数变高时，插值多项式反而变得更不准确。
在今天晚上的微观经济学课上，我又听到了一个比较有意思的东西。试着找找各种类型的连续函数f(x)，画出f'(x)和f(x)/x的函数图像，你会发现一个奇怪的现象：f'(x)与f(x)/x相交的地方都是f(x)/x取到极值的地方。简单地算一算，我们不难证实这个结论。f(x)/x的导数等于f'(x)/x – f(x)/x^2。将f'(x)=f(x)/x代入上式，可得f'(x)/x – f(x)/x^2 = f(x)/x^2 – f(x)/x^2 = 0。这就是说，当f'(x)与f(x)/x相等的时候，f(x)/x的导数一定等于0。有意思的是，这个结论还有一个非常直观的解释，你能想到吗？
连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。
我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。