求证：当n为奇数时，用n-3条对角线将正n边形分为n-2个三角形，有且仅有一个三角形是锐角三角形。

    这道题几乎可以说是非常简单的脑筋急转弯。如果我告诉你，整个证明过程只需一句话，你再仔细想想能想到答案么？偷看答案后你会后悔你没有想到这个简单而神奇的证明。

    
    证明：做出正n边形的外接圆后我们可以清楚地看到，有且仅有一个三角形，其外心在该三角形内部，它就是唯一的那个锐角三角形。
    题目来源：http://www.eaglefantasy.cn/article.asp?id=22
    我本来可以想到这个证明的。之前曾经见过不少类似的题目。比如，有一道题问你为什么当n>4时正n边形不可能内接于长短轴不等的椭圆内。整个证明过程也只有一句话：因为它的外接圆与椭圆最多只有4个交点。

    很多时候，问题越是简单，解答起来越复杂。1983年，Kobon Fujimura提出了这样一个问题：N条直线最多可以构成多少个互不重叠的三角形？这个问题后来被称为Kobon三角形问题。虽然对于一些特殊的n，人们已经找到了确切的最优解，但目前Kobon三角形问题还没有一般的结论。就在上个月，Johannes Bader用17条直线构造出85个互不重叠的三角形，它被证明是n=17的最优解。这里，我们将给出Johannes Bader构造出来的图形，并且证明它确实是n=17时的最优解。

      
    如果n条直线中任两条不平行，任三条不共点，则每条直线都被其它n-1条直线切割为n份，产生了n-2个小线段，因此n条直线最多可以构成n(n-2)个小线段。我们将证明，n(n-2)/3是Kobon三角形问题的一个上界。有人会说，这不是显然的吗，如果这n(n-2)个小线段被“充分利用”的话，每条小线段都是一个三角形的边，n(n-2)/3显然已经是最大的了。且慢，万一两个三角形有公共边咋办？这样是不是可以“节约”一条边出来？有人甚至会想到，这样做节约的可不止一条边，如果两个三角形有公共边的话，必然会出现三线共点的情况，这将导致这两个三角形对面又产生另一对共边的三角形（图1）。但事实上，允许公共边的出现不但没有节约任何边，反而浪费了更多的线段。别忘了，三线共点这一情况的出现将减少总线段数，此时总线段数不再是n(n-2)，你将白白损失三条本该有所作为的线段（图2）。省了两条，丢了三条，可见同样是想构造n(n-2)/3个三角形，只要有共用边出现，n(n-2)条小线段是不够的。证明的基本思路就是这样，有兴趣的话大家可以自己整理出详细的证明过程。
    注意这个证明并没有说存在公共边的构造肯定不是最优解。有可能对于某些n，某个包含公共边的解是最优解，只是它没达到这里给出的上界而已。另外大家可能会问到的问题是，是否存在“部分公共边”的情况。这种“大边包含小边”式的共边三角形显然是愚蠢的，因为此时其中一个三角形必然被划分为了更小的三角形，选择小的那个三角形显然更好。

    当n=17时，上界n(n-2)/3是可以达到的。Johannes Bader构造出了下面这个图形，图形中包含了85个互不重叠的三角形，完美解决了n=17时的Kobon三角形问题。

查看更多：http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php
做人要厚道，转贴请注明出处

    我们平时习惯说“微积分”。有趣的是，积分的出现远远早于微分。积分思想的早期萌芽甚至可以追溯到古希腊时代，Democritus曾运用这种思想解决了很多复杂的问题。他的“数学原子论”观点强调几何体是由一个一个面重叠而成，而面则是由线组成。他把圆锥看作一个个不可再分的薄片，从而成功地得到了圆锥体体积公式：圆锥的体积等于等底等高的圆柱体体积的1/3。事实上，仅仅凭借经验加实验，这个公式也很容易被发现，因此我们这里不再仔细追究公式的推导过程。但古希腊人对球体积的研究却迟迟没有进展。此时，一代神牛Archimedes出现了。Archimedes用了一种出人意料的神奇方法找到了球的体积公式，整个推导过程令人称叹不已，拍案叫绝。
    我们从圆的方程开始说起。首先观察方程(x-a)^2 + y^2 = a^2，这是一个中心在(a,0)，半径为a的圆，它在y轴右边与y轴相切。整理一下这个式子，我们有x^2 + y^2 = 2ax。在这个式子中，x可以从0取到2a，每一个x的值就对应着一个y值，它表示圆上对应位置的半弦长。注意到这个式子的特殊性：如果等式两边同时乘以π，牛B东西就来了：πx^2 + πy^2 = 2aπx，左边出现了两个与圆面积相关的项。这使我们有了一种让等式两边再乘以一个2a的冲动，因为这样的话等式右边也出现了一个与2a相关的圆面积：2a(πx^2 + πy^2) = x π(2a)^2。现在的问题是，等式左边多出来的一个2a和等式右边的那个x该咋办？不用担心，我们不是有杠杆原理这种牛B东西么，这两个东西可以当力臂长啊。于是，一个现在看上去并不算太突兀的力学模型出现了：

      
    找一根不计重量的金属杆，水平放置这根金属杆并以O为支点。金属杆右边串一个半径和高都是2a的圆柱体，圆柱体的左端点与支点O重合。把一个半径为a的球和一个底面半径和高都是2a的圆锥用绳子串起来，悬挂在左边距支点2a处。再次回到我们刚才的等式2a(πx^2 + πy^2) = x π(2a)^2。发现了吗，每取一个x，式子中的三个圆面积公式正好对应着这三个几何体相应位置上的横截面积。右边的圆柱横截面积始终为π(2a)^2，它离原点的距离为x；左边那个圆锥的横截面积为πx^2，它与圆锥顶端的距离为x；圆锥上方的那个球里同样存在一个对应的截面，这个截面离球的顶端距离也是x，而它的面积则正好是πy^2（回忆之前提到的半弦长）。乘上它们各自的力臂，我们就得到了上面的式子，而这个式子左右两边是相等的。于是我们知道了，对于任何一个x，三个立体图形对应位置上的“切片”都能够使杠杆平衡。我们有理由相信，如果每一个切片都可以使杠杆平衡的话，取遍所有的切片后，整个系统也应该是平衡的。尽管这存在一个严密性的问题，但毫无疑问这种假设是非常合理的，并且这种想法很大程度上促成了后来微积分的产生。无论如何，Archimedes利用这种方法得到了正确的答案：假设球的体积是V，则由杠杆原理得2a*(V + π(2a)^2*2a/3) = a π(2a)^2*2a （右边那个圆柱体的重心在图形的正中间，它到支点的距离为a，这即是臂长）。解得，V=(4/3)πa^3。

Matrix67原创
做人要厚道
转贴请注明出处

    数学很科学，但真正神奇的是物理。物理科学一次又一次震撼了人类。上帝是一个艺术家，它创造的这个世界是如此的和谐。自然界的每一个现象都可以用如此简洁的公式表达出来，以至于越来越多的人相信宇宙终极定律的存在。有一句话非常准确地表达了我对物理学的看法：Chemistry is physics without thought. Mathematics is physics without purpose.
    数学的很多问题都可以用物理模型来描述，并且利用一些物理定律来解决。之前我知道至少5个用物理方法解决数学问题的实例，看完《数学与猜想》第一卷后又多了解了好几个。我将选一些个人感觉比较有趣的例子写在这里。另外，这一系列文章的科学性和严密性可能是我所有写过的东西中最没把握的，希望网友们能帮忙纠正一些物理方面的严重错误。毕竟我是文科生，物理的东西了解得并不透彻:(

    我们首先从一个简单的问题开始。这是一道初中平面几何题，它是初中那几道经典老题之一，能在一瞬间唤起你初中时的记忆。相信很多人对这题记忆犹新，再次看到这个题目时甚至可以立即报出答案来。但是，你有见过用杠杆原理来解这个几何题吗？

      
    问题：如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的三等分点，求三角形PQS的面积。

    解答：把整个图形想象成一块水平放置的纸板。在A点挂一个1g的砝码，在B点挂一个2g的砝码，在C点挂一个4g的砝码。由杠杆原理：F是AB边上的支点，相当于承受了3g的重物，这样的话整个图形的重心应该在FC上；D是BC边上的支点，相当于承受了6g的重物，这样的话整个图形的重心应该在AD上。于是，整个图形的重心就应该落在FC和AD的交点S上，因此S必须是AD边的支点。而A重1g，D重6g，则AS:SD=6:1。于是S△ASC = 6/7 S△ADC = 6/7*1/3 S△ABC = 2/7。类似地，S△BQC和S△APB都等于2/7，剩下的S△PQS就等于1/7。

    应用类似的方法还可以解决很多其它的几何问题

做人要厚道
转贴请注明出处

昨天收到一封邮件：

Matrix67：

    我最近发现了一个我无法解决的问题。题目如下：
    平面上有n(n>=3)个点不全共线，一部分是红色的，其它是绿色的，是否一定存在一条直线满足：
    (1) 通过这些点中至少两个；
    (2) 它通过的点颜色全部相同。
    我在百度知道上发过此问题两次，告诉了学校的N个人，但还未能解决，希望你能帮助我。

         　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一位痴迷于数学的网友

    我当然不大可能会做出来，毕竟我也只是一个数学爱好者，不是搞MO的。因此把题目发到这里，大家可以一起来讨论。
    这道题和我之前看过的一道经典题目很相似：若n个点不全共线，则必存在一条直线恰好穿过两个点。证明方法很巧妙，画出所有两点确定的直线，作出每一个点到每一条直线的垂线，找出这些垂线中最短的一条，然后你会发现，假设每条直线上都有至少三个点的话，我总能找到比这条垂线段更短的垂线（大家可以自己试试看）。注意到，这个题目要求证明“若任何两点的连线上都有另一个点，则所有点共线”，而上面的题目则要求证明“若任何同色两点的连线上都有另一个异色点，则所有点共线”。这两个问题间有没有什么联系？我感觉，区分颜色的话命题似乎更强一些。我曾尝试找反例，每一次都是只差那么一点就成功了，但对于我提到的老问题，即使想找出一个很“悬”的情况也不太容易。
    这道题是原创的吗？如果是原创的话就真的强了。