1969 年， David Klarner 提出了这样一个问题：能否把一个长方形划分成奇数个全等的小块，并且这些小块不能是小长方形？如果把问题改为偶数个小块，这件事情是很容易做到的，如下图所示。对于奇数个小块的情况，问题显然就没有那么简单了。继续阅读下去之前，你不妨先想一想。
几何
经典证明：向量叉积的几何意义
为什么以向量 (a, b) 和 (c, d) 为邻边，构成的平行四边形的面积正好是 ad – bc 呢？下图是一个非常漂亮的无字证明。
这是我在阅读 The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems 一书时受到启发并制作完成的。
趣题：构造点集使得每条直线上的点都一样多
我们很容易在平面内放置很多点，使得任意两点确定的直线都只经过这两个点——你需要做的，仅仅是让任意三点都不共线就行了。那么，能否在平面内放置若干个点，使得任意两点确定的直线总是恰好经过三个点呢？更一般地，对于任意正整数 n > 2 ，能否在平面内放置若干个点，使得任意两点确定的直线总是恰好经过 n 个点呢？当然，我们要排除掉所有点都共线这种平凡的情况。
记得我很小的时候就想过这个问题。小时候有一种经典的智力题，大致就是叫你把多少多少棵树种成多少多少行，使得每行都有多少多少棵树。比方说，如何把 9 棵树种成 10 行，使得每行都有 3 棵树？答案如下图所示。但请注意，其实图中还有不少直线上只有 2 棵树，比如那条蓝色的虚线。
当时，我就曾经想过，如果树苗足够多，能否让每条可能的直线上都种有 3 棵树呢？于是，我没事儿就来尝试一番，但每一次都以失败告终。后来我才知道，这是不可能的。根据 Sylvester–Gallai 定理，在任意一个有限点集中，一定有一条直线恰好只经过两个点，除非所有的点都是共线的。这个定理有一个非常漂亮的证明，这里不得不提。假设存在某个点集，满足任意两点确定的直线上都存在其他的点。画出所有可能的直线，作出每一个点到每一条直线的垂线段，然后找出所有这些垂线段中最短的一条。不妨假设这条最短的垂线段是点 P 到某条直线 l 的垂线段，垂足点记作 H 。由假设， l 上至少有三个点，因此至少有两个点分布在垂足 H 的同一侧（允许和垂足重合）。不妨把这两个点记作 R 、 Q ，如下图所示。由于我们画出了所有可能的直线，因此 P 、 R 两点之间也有一条直线；此时， Q 到 PR 的垂线段就是更短的垂线段，于是产生矛盾。要想避免这样的矛盾，唯一的方法就是，所有的垂线段长度都为 0 ，换句话说我们根本作不出所谓的垂线段。这也就是所有点全都共线的情况。
我们刚才证明了，在一个点集中，只经过两点的直线一定存在，除非所有点全都共线；因此，当 n > 2 时，我们自然就无法让每条可能的直线上都有 n 个点，除非所有点全都共线。
高度对称的多面体和它们的对偶多面体
正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这是古希腊人就发现的五种正多面体，它们拥有最高标准的对称性。这五种正多面体又叫做 Platonic 体，它们在古希腊的哲学观念中占据着至关重要的地位。 Leonhard Euler 发现，多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 一定满足公式 V – E + F = 2 ，这叫做 Euler 多面体公式。利用这个公式，我们可以证明正多面体只有五种。假设一个正多面体的每个面都是正 p 边形，那么所有 F 个面一共就有 p · F 条边；每两条边拼在一起形成了一条棱，因而总的棱数就是 E = p · F / 2 。反过来， F 就应该等于 2 · E / p 。不妨再假设每个顶点处都汇集了 q 条棱，那么总的棱数似乎应有 q · V 个；但这样计算的话，每条棱都被重复算了两次，因而总的棱数实际上应该是 E = q · V / 2 。反过来， V 就应该等于 2 · E / q 。另外， Euler 的多面体公式告诉我们， V – E + F = 2 始终成立。
把上面几个式子合在一起，于是得到：
2 · E / q – E + 2 · E / p = 2
整理可得：
1/p + 1/q – 1/2 = 1/E
因此， 1/p + 1/q 一定大于 1/2 。但是，正多面体每个面至少都有三条边，每个顶点也至少汇集了三条棱，因此 p 和 q 都是大于等于 3 的整数。要想 1/p + 1/q > 1/2 ，只有以下五种可能：
- p = 3 ， q = 3
- p = 3 ， q = 4
- p = 4 ， q = 3
- p = 3 ， q = 5
- p = 5 ， q = 3
这正好对应于那五种正多面体。最近 Localhost-8080 沉迷于折纸，我也因此学习了不少与多面体相关的东西。想不到，这些看似老生常谈的东西，里面的水可深着呢。这五种正多面体表面上只是问题的五个不同的解，但互相之间却有着出人意料的联系。我们再列一个更加完整的表格，有意思的东西会慢慢呈现出来：
| 名称 | 面数 F | 顶点数 V | 棱数 E | 每个面的边数 p | 每个顶点处的棱数 q |
| 正四面体 | 4 | 4 | 6 | 3 | 3 |
| 正方体 | 6 | 8 | 12 | 4 | 3 |
| 正八面体 | 8 | 6 | 12 | 3 | 4 |
| 正十二面体 | 12 | 20 | 30 | 5 | 3 |
| 正二十面体 | 20 | 12 | 30 | 3 | 5 |
