从古至今，尺规作图一直是数学中备受关注的一个问题。到现在，数学家们已经比较完美的解决了尺规作图的问题，指出哪些图形可以用尺规作图完成，哪些问题不能用尺规作图解决。Mohr-Mascheroni定理告诉了我们一个非常令人吃惊的事实：所有用直尺和圆规可以解决的作图问题，只用圆规也能完成。当然，只用圆规是画不出直线的；但我们可以认为，一条直线已经由两点确定，并不需要画在图上。数学家们向我们展示了：给定四个点，如何用单规找出它们所确定的两条直线的交点；给定一段圆弧和两个点，如何找出两点确定的直线与圆弧的交点。注意到这是直尺仅有的功用，用单规全部解决了后直尺也就不需要了。数学家们还研究过单尺作图：只拿一块直尺到处作直线交过来交过去的又能完成哪些作图问题。显然，只用直尺是不能开平方的，解析几何告诉我们直线与直线的交点只可能是各系数的一个有理表达，这决定了单尺作图不能替代尺规作图。Poncelet-Steiner定理告诉我们，假如事先给定了一个圆和它的圆心，以后只用直尺足以完成任何尺规作图能够解决的问题。这些将在我今后的《什么是数学》笔记中提到。
    昨天，网友浅海里的鱼跟我提到了锈规作图问题，这是我第一次听到这个神奇的东西。现在，假设我们没有直尺，只有一把生锈的圆规。圆规已经被卡住了，只能画出单位半径的圆。在这样的条件下，哪些作图问题仍然能够被解决？锈规作图相当的困难，但并不是没有可能。1983年，D. Pedoe教授惊奇地发现，给定两个点A和B，如果它们的距离小于2，我们可以非常简单地作出点C，使得AC = BC = AB（即△ABC为等边三角形）。

    
    先以A、B为圆心分别作圆。由于它们之间的距离小于2，因此两圆必然相交。以其中一个交点P为圆心作圆，分别交圆A、圆B于点M、N。最后，圆M和圆N的交点即为所求点C。由对称性，△CAB一定是一个等腰三角形。另外，由对称性可知∠ACB=2∠BCP，而圆周角∠BCP的角度又是圆心角∠BNP的一半。由于△BNP是等边三角形，我们可以立即得到∠ACB=∠BNP=60°，△ABC是一个等边三角形。
    D. Pedoe受到启发，提出了以下问题：任给A、B两点，只用锈规是否都能作出C使得AC = BC = AB？若干年后，侯晓荣等人巧妙地解决了这个问题，并以此为基础，借用复数运算等理论，得到了一个出人意料的结论：从给定两点出发，任何尺规作图能够完成的构造，只用锈规也能完成。只用锈规作等边三角形的方法相当精彩，我在这里详细地说一下。觉得牛B的话就在下面叫个“好”。
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正值期中，忙啊忙啊，忙死了……
象征性地更新一篇日志。

你如何……
1. 如何把一个1:2的矩形分成若干份，然后拼成一个正方形？最少需要分成几块？
2. 如何把一个1:3的矩形分成若干份，然后拼成一个正方形？最少需要分成几块？
3. 如何把一个1:4的矩形分成若干份，然后拼成一个正方形？最少需要分成几块？
4. 如何把一个1:5的矩形分成若干份，然后拼成一个正方形？最少需要分成几块？

下面是答案。
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    在几百年前的日本，人们定期用猪牛等牲口祭祀天神，以表达对上天恩赐的感谢。但这种祭祀方式花费很大，于是日本人想到在木板上刻画牲口的图案，然后挂在寺庙里祭祀上天。有一天，一位日本武士开始设想：除了猪牛羊马以外，我们还可以在木板上画点其它东西。他开始画一些原创的、美观的、有新意的图案献给天神。他用数学来祭祀，向上天表示自己的聪明才智。

    人们陆续在日本的寺院里发现了数百个这样的木板，上面写有各种几何问题和定理。后人把这些刻有数学问题的木板叫做Sangaku。木板上的文字大都是古代汉字，这些文字多是对图案的描述，不过现在已经很难理解了。一位叫做Hidetoshi Fukagawa的日本数学教师一直致力于搜寻、翻译和研究Sangaku。最近，Fukagawa和Princeton大学的Tony Rothman合作完成了一本叫做Sacred Mathematics的书，书里详细介绍了Sangaku的完整历史，还有不少的Sangaku照片第一次走出了日本。
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    上一次写这玩意儿已经是两个月前的事了，今天突然想起这一系列的东西我还没有写完。和上次一样，我们将对另一个几何问题作出光学和力学两种解释。由于前面已经有了不少铺垫，很多东西这里就不再重复了。

  
    椭圆是平面上到给定两点的距离之和为定值的点的集合。那两个定点就叫做椭圆的焦点。椭圆有一个神奇的性质：选定椭圆上的任意一点P，把它和两个焦点A、B相连，则PA和PB与椭圆在P点处的切线有相同的夹角。换句话说，PA和PB与法线的夹角相等，即入射角等于反射角。这样的话，任意一条从A出发的光线，经过椭圆壁的反射后总会经过另一个焦点B。假如有一个餐厅是椭圆形的，你的位置恰好位于椭圆的一个焦点上。这时你突然听到不知哪里传出的一男一女谈情说爱的声音，其肉麻程度不堪入耳，并且声音格外清晰。不用怕，这是因为那对男女正好坐在另一个焦点上，他们谈话的声音再小你也听得见，因为这些声音经过房间墙壁的反射后全汇聚到你这里来了。
    你可以用解析几何证明这一结论，不过其复杂程度令人望而生畏。这是我上学期做的最恶心的一道高数题。有趣的是，这个结论用Fermat原理（光总是沿着所花时间最短的路径传播）来解释的话，根本不需要运算，几句话就说清楚了。我们需要证明这样一个几何命题，椭圆上一点P与焦点A、B的连线到过P点的切线的夹角相等。把过P点的切线作出来后，我们可以一眼看出这个论断是正确的：从点A出发的光线经切线反射后过点B，则反射点一定就是点P，因为切线上所有其他的点P'都在椭圆外，折线A->P'->B都比A->P->B长。

  
    后来，我在《数学与猜想》中看到了另外一种物理证明方法，非常神奇。这个结论的正确性可以通过一个非常简单的力学模型揭示出来。看上图，我们在两个焦点间连接一条长度为2a的绳子，绳子上挂一个重物。注意到重物是挂在绳子上的，绳结处P是可以活动的。显然，P点的轨迹形成了一个椭圆。重物有不断下落的趋势，此时重力势能转化为动能；当整个力学系统静止时，重力势能达到最小，因此最终绳结P应该位于椭圆的最低点，该点处的切线正好是一条水平线。此时绳结P受到了三个力：重物M所产生的垂直向下的力，以及左右两边的绳子的拉力。由于物体保持平衡，两个拉力的合力必须竖直向上才行。但绳子内部的张力处处相等，两个方向上的拉力大小应该一样；如果它们的合力竖直向上，那么这两个力的方向与竖直方向的夹角必然相同。于是我们得到了和上面的讨论相同的结论：椭圆上的点与两焦点的连线到法线的夹角相等。

    这段时间的古代汉语课和现代文学史课的时间利用得很好，我已经看完了Mathematics and Plausible Reasoning Vol.II和How to Solve It，并且已经读完了What is Mathematics的第一章。前面两本书主要是对数学思维方法的系统研究，有趣的新鲜东西并不太多。书里拿了几道比较经典的几何作图问题当作例题，比较有意思，在这里与大家分享一下。

1. 顺次给出四条边a, b, c, d以及对边a与c的夹角α，作一个四边形；
2. 给你一个三角形，作出一个内接于此三角形的正方形（正方形的四个顶点都落在三角形的边上）；
3. 已知三角形的一个角α，这个角所对的边的高h，以及这个三角形的周长p。求作这个三角形。

  
1. 顺次给出四条边a, b, c, d以及对边a与c的夹角α，作一个四边形：先作出△ABC，其中AC=a，AB=c，两边夹角为α。然后分别以b和d为半径，在B点和C点画弧相交于D。平移AB和BD补成一个平行四边形ABDE。四边形AEDC即为所求。

  
2. 给你一个三角形，作出一个内接于此三角形的正方形：不妨先尝试满足部分条件，只让三个点落在三角形的边上。可以证明第四个点的轨迹是一条直线，问题迎刃而解。

  
3. 已知三角形的一个角α，这个角所对的边的高h，以及这个三角形的周长p。求作这个三角形。这题有点难。你需要集中精力思考，那个周长应该怎么放才合适。于是想到用作等腰三角形的方法把三条边拼接到一条直线上去。这样问题转化为作一个底边为p，对角为α/2+90°，高为h的三角形。此三角形的顶点A由一条平行于DE的直线与一段圆弧的交点所确定。这段圆弧可以这样作：先随便作一个满足∠DA'E=α/2+90°的△A'DE，显然△A'DE的外接圆上与A'同侧的所有点对DE的张角均为α/2+90°，而这个外接圆的圆心就是A'D和A'E的垂直平分线的交点。找到△ADE后，AD和AE的垂直平分线与DE的交点即为点B和点C。