考虑直线x+y=n，其中n是一个素数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格点（如上图，图中所示的是n=11的情况）。将这n-1个点分别和原点相连，于是得到了n-2个灰色的三角形。仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多。这是为什么呢？
几何
趣题：用松了的圆规作给定一端点的指定长度线段
《几何原本》的命题1是“作以给定线段为边的等边三角形”，其做法也正如大家所料：以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆，交点C就是等边三角形的第三个顶点，于是连接AC和BC即可。《几何原本》的命题2则是一个看似更加简单的作图问题：给定点A和线段BC，作以A为其中一个端点的、长度等于BC的线段。我原以为《几何原本》的做法也和我们平常的做法一样——以A为端点向任意方向作一射线，再用圆规截取出和BC等长的线段。因此，每次在网上看到关于《几何原本》命题2时，我都会直接略过去。最近我才发现，《几何原本》中命题2的做法和大家想象的完全不一样，因为这种做法在《几何原本》中是不允许的。圆规只能用来作圆，不能用来度量和转移长度；换句话说，公设3中的“圆规”是一个“松”的圆规，一旦离开纸面后圆规的两脚便会“啪”的一声自动合拢。在这种条件下，你又如何实现上面提到的作图问题呢？
圆环面积公式与勾股定理
勾股定理有上百种证明，但其实它们都大同小异——无非是构造一组三角形和正方形并进行一系列变换。今天我看到了一个用圆面积来解释勾股定理的办法，颇有一些新意。
考虑直角三角形OAB绕着一个锐角顶点O旋转一周。顶点A的轨迹是一个半径为a的圆，顶点B的轨迹是一个半径为c的圆。那么，线段AB扫过的区域（一个圆环）的面积就应该是大圆面积减去小圆面积，即π(c^2-a^2)。如果我们能够有一种办法说明，线段AB扫过的面积正好是πb^2，我们就相当于得到了勾股定理的另一个证明。
一个实际问题：如何放本本使得其占地面积最小？
我的书桌已经乱到一定的程度了，以至于每次把笔记本从包包里拿出来，准备把它放到桌子上去时，我都要在桌子上非常下功夫地寻找一块能够放得下本本的空地。久而久之，我开始思考：怎样放置笔记本才能使得它占据桌面的面积最小，而又保证它不会掉下去呢？
