昨晚做梦，梦见了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？有趣的是，接下来我梦见自己醒了过来，然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文，论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展，于是踏上了拜访作者本人的路……
然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。
环面多面体，即亏格为 1 的多面体，直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近，我在研究一些和环面多面体相关的话题，在这里和大家分享一些我的发现。
我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？
提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。
下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？
大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题：对于哪些正整数 n ，我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形（允许出现大小相同的小正方形）？答案是，除了 n = 2, 3, 5 以外，对于其他所有的 n ，把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况，分割方案如下图所示：
对于更大的 n 呢？注意到，每次用横竖两条线把一个小正方形分成四个更小的小正方形后，我们都会让这个图形里的正方形数目增加 3 个。因此，我们只需要在 n = 6 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 9 的方案；只需要在 n = 7 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 10 的方案；只需要在 n = 8 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 11 的方案；只需要在 n = 9 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 12 的方案……于是，其他所有的情况都被我们解决了。