数学很科学，但真正神奇的是物理。物理科学一次又一次震撼了人类。上帝是一个艺术家，它创造的这个世界是如此的和谐。自然界的每一个现象都可以用如此简洁的公式表达出来，以至于越来越多的人相信宇宙终极定律的存在。有一句话非常准确地表达了我对物理学的看法：Chemistry is physics without thought. Mathematics is physics without purpose.
    数学的很多问题都可以用物理模型来描述，并且利用一些物理定律来解决。之前我知道至少5个用物理方法解决数学问题的实例，看完《数学与猜想》第一卷后又多了解了好几个。我将选一些个人感觉比较有趣的例子写在这里。另外，这一系列文章的科学性和严密性可能是我所有写过的东西中最没把握的，希望网友们能帮忙纠正一些物理方面的严重错误。毕竟我是文科生，物理的东西了解得并不透彻:(

    我们首先从一个简单的问题开始。这是一道初中平面几何题，它是初中那几道经典老题之一，能在一瞬间唤起你初中时的记忆。相信很多人对这题记忆犹新，再次看到这个题目时甚至可以立即报出答案来。但是，你有见过用杠杆原理来解这个几何题吗？

      
    问题：如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的三等分点，求三角形PQS的面积。

    解答：把整个图形想象成一块水平放置的纸板。在A点挂一个1g的砝码，在B点挂一个2g的砝码，在C点挂一个4g的砝码。由杠杆原理：F是AB边上的支点，相当于承受了3g的重物，这样的话整个图形的重心应该在FC上；D是BC边上的支点，相当于承受了6g的重物，这样的话整个图形的重心应该在AD上。于是，整个图形的重心就应该落在FC和AD的交点S上，因此S必须是AD边的支点。而A重1g，D重6g，则AS:SD=6:1。于是S△ASC = 6/7 S△ADC = 6/7*1/3 S△ABC = 2/7。类似地，S△BQC和S△APB都等于2/7，剩下的S△PQS就等于1/7。

    应用类似的方法还可以解决很多其它的几何问题

做人要厚道
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昨天收到一封邮件：

Matrix67：

    我最近发现了一个我无法解决的问题。题目如下：
    平面上有n(n>=3)个点不全共线，一部分是红色的，其它是绿色的，是否一定存在一条直线满足：
    (1) 通过这些点中至少两个；
    (2) 它通过的点颜色全部相同。
    我在百度知道上发过此问题两次，告诉了学校的N个人，但还未能解决，希望你能帮助我。

         　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一位痴迷于数学的网友

    我当然不大可能会做出来，毕竟我也只是一个数学爱好者，不是搞MO的。因此把题目发到这里，大家可以一起来讨论。
    这道题和我之前看过的一道经典题目很相似：若n个点不全共线，则必存在一条直线恰好穿过两个点。证明方法很巧妙，画出所有两点确定的直线，作出每一个点到每一条直线的垂线，找出这些垂线中最短的一条，然后你会发现，假设每条直线上都有至少三个点的话，我总能找到比这条垂线段更短的垂线（大家可以自己试试看）。注意到，这个题目要求证明“若任何两点的连线上都有另一个点，则所有点共线”，而上面的题目则要求证明“若任何同色两点的连线上都有另一个异色点，则所有点共线”。这两个问题间有没有什么联系？我感觉，区分颜色的话命题似乎更强一些。我曾尝试找反例，每一次都是只差那么一点就成功了，但对于我提到的老问题，即使想找出一个很“悬”的情况也不太容易。
    这道题是原创的吗？如果是原创的话就真的强了。

    题目发出后，大家的回应似乎比我想象中的更积极，我看到了好几个不同的正确解答。加上我本来知道的几种做法，现在我已经知道了至少5种正确的解法。现在随便发一个，供大家参考。

    我们首先从号称世界第二难的几何题“50-60三角形”（图一）入手。这个题目要稍微简单一些，因为有个已知条件很重要：∠1=50°=∠2，因此我们一开始就有了一个等腰三角形，其中BC=CD。过E作BC的平行线交AC于E'（图二），我们很快就可以知道两个蓝色三角形是等边三角形，于是BC=CP。这样的话三条红色线段都相等，△CPD是等腰三角形，即可算出∠3=80°，∠4=40°。而△BE'C中的∠5也是40°，于是△DPE'也是等腰三角形，DP=DE'。又EP=EE'（全等三角形的两边），ED=ED（公共边），因此△DEE'=△DEP。∠6=∠7=1/2∠PEE'=30°

    事实上，利用50-60问题的结论，我们能很快解决60-70问题（图三）。在AC上找一点F使得∠CBF=50°（图4），根据前面的结论，∠1=30°。而△BDC中的∠2也是30°。又∠3=∠4=20°，于是红色三角形和紫色三角形相似，CF/EF=BF/DF。而∠5=50°，∠6=∠1+∠3=50°，结合前面的比例关系，于是两个蓝色三角形相似。这样的话，∠EDF=∠CBF=50°。我们要求的角就等于∠EDF-∠2=20°

    解答很繁琐。目前我还没有找到什么简单而巧妙的解法。欢迎大家提供更多的解答思路。

    似乎MM都很喜欢拼图游戏。如果MM过生日你不知道送她什么，送她一副拼图是一个不错的选择（事实上原来我也曾干过这事）。如果你失恋了，或者挂科了，或者这个月没饭钱了，或者怀疑自己的性取向，感到很郁闷的时候，静下心来玩一玩拼图游戏可以让你暂时忘掉烦恼。当你最终完成整个拼图时，你会有前所未有的成就感。当然，只有那些有耐心的人才觉得拼图有趣，像我这样的人肯定拼个十几二十分钟就觉得烦了。计算机搞久了的人往往都很没耐心，同一个操作反复执行的次数多了就觉得很烦，心里总会想这种机械操作交给傻B计算机去做该多省事啊。有时我会想，计算机是否有什么牛B算法可以用来解决拼图问题。今天我们要研究的是，如何把拼图游戏描述成一个信息学问题，计算机是否有更高效的算法来解决这个问题。
    传统的拼图一共有w*h个正方形小块，最终将拼成一个w*h的矩形图案。我们大致有以下两种依据来确定一个小块的位置：根据这一小块上的图案来确定它在整幅图片中的位置，或者从形状上观察这一小块可以和其它哪些块拼接。于是，拼图游戏变成了这样一种交互式的问题：允许你询问某一块是否在指定的位置，或者某两块是否相连，你如何尽早地完成整个拼图。具体地说，你可以：

• 询问拼块A是否在(x,y)上，交互库返回yes/no
• 询问拼块A和拼块B是否相连，交互库返回yes/no

    有时候，你并不能把拼图完全当作一个顶点最大度为4的无向图。多数情况下两个拼块只能按某一个方向上的某一种顺序相连。为了更贴近拼图游戏的真实情况，我们可以假定，对于第二个问题如果返回的是yes，则交互库还会告诉你A应该接在B的什么方向。现在的问题是，完成整个拼图最少需要多少次询问？
    假如拼图共有n块，询问的次数不会超过O(n^2)。对于每一个拼块，我都像傻B一样挨着挨着询问“它是不是在这里”，O(n^2)次询问可以保证我完成整副拼图。我们希望知道，是否有算法可以使用O(nlogn)甚至更少的询问次数？

    答案是否定的。对于拼图问题，计算机并没有英明到哪里去，它也只能像傻B一样一个一个去试。我们下面将证明，不管你怎么努力，询问次数再怎么也不会低于O(n^2)。首先我们需要说明的是，问题2实际上并不能带给我们多大的帮助。

      
    如上图，我们把整个拼图划分成一个一个的“十字架”，并且挖掉每个十字架正中间的那个格子（深灰色的格子）。注意到关于这种划分的三个重要性质：

• 每个浅灰色的格子最多与一个深灰色的格子相邻
• 任何两个深灰色的格子都不相邻
• 深灰色的格子共有n/5个（可能有常数级别的偏差）

    现在，假如整个拼图里只剩这些被挖掉的深灰色格子还没确定，其它的格子上都已经放好了正确的拼块。再换句话说，在拼图游戏过程中，拼块是否应放在浅灰色的格子里，若可以则应该放在哪个格子，以及浅灰色格子之间的邻接状态都是已经知道的了，只要是不涉及深灰色格子的信息，你要什么我就给你什么。此时，我们只剩下n/5个格子（仍然是O(n)个格子），并且询问1与询问2变得完全等价；你要问拼块A和拼块B是否相邻，还不如直接问拼块是否应放在某个洞里。于是，问题变为这样，只凭借询问1来确定O(n)个拼块的位置需要多少次询问。我们下面证明，O(n^2)次询问是必须的。
    考虑一个二分图，左边n个顶点表示n个拼块，右边n个顶点表示拼图上残留的n个洞。现在，我只能询问指定的两顶点间是否有边，只有当交互库回答了n次yes后拼图才算完成。那么，作为交互库，你应该尽可能返回对游戏者不利的信息，让整个局面往最坏的方向发展。如果叫你来写这个交互库，你该怎么写？容易想到，只要有可能，我都返回no；除非某个时候一旦我再返回一次no，所有没被问过的边和返回过yes的边所组成的二分图不存在一个完全匹配时，我才可能返回yes。我们需要一个二分图存在完全匹配的充分条件来支持我们的这个算法。
    考虑如下定理：如果一个二分图左边右边各有n个顶点，每个顶点都与对面至少n/2个顶点相连，则这个二分图一定存在一个完全匹配。定理的证明很简单。König定理告诉我们，二分图的最大匹配数应该等于最小点覆盖集，而一个图的最小点覆盖与最大点独立集是互补的，它们的和始终等于顶点数|V|（在这里|V|=2n）。因此我们只需要证明，上述二分图的最大点独立集不会超过n。假如我在左边选的顶点数不超过n/2个，则右边最多也只能选n/2个顶点（左边任一个点都已经使右边至少n/2个点废了）；假如我左边选的顶点数超过了n/2个，则右边的顶点一个都不能选（右边每个点都连接了左边至少n/2个点，任选一个都会导致冲突）。总之，最大点独立集不可能超过n，但n显然是可以达到的（取同一边的所有点），那么最小点覆盖集也就是n，即二分图存在完全匹配。
    有了这个定理，下面我就好办了：任何时候，只要每个顶点你都有半数以上的边没问过，我就可以放心大胆的回答no（因为这些没问过的边总可以组成一个完全匹配）；一旦某个时刻有一个顶点被问过了n/2次，那么我就随便找一个完全匹配，把这个点“亮”出来，告诉你这个点应该和哪个点匹配（不计询问次数），然后把这两个匹配了的顶点从图中删去，继续刚才的操作。每次删除一对顶点都会顺带着删掉与它们相连的至少k/2条问过的边，其中k表示当时左边右边各剩下k个顶点。删掉了多少边就表示你曾问过了多少边，因此完成整个拼图你总共问过至少n/2 + (n-1)/2 + … + 2/2 + 1/2条边，这个数量显然是O(n^2)的。

做人要厚道
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参考资料：http://www.brand.site.co.il/riddles/200710q.html

    给你四个角度值，请用初等平面几何知识找出x的角度值是多少。这是一道相当难的平面几何题。在这里，这道题被称为是世界上最难的初等几何问题。那个网页上还有这个问题的另一个版本，号称是“世界上第二难的初等几何问题”。引用它的几句话：
    “你只能使用初等几何知识，比如三角形内角和为180度，全等三角形判定法则等等。你不能使用高级的三角学知识，比如正弦定理、余弦定理等等。
    “这是我见过的最难的几何问题。它的确可以用初等几何的方法做出来。这是一个很“正常”的题目，解决它并不需要什么匪夷所思的诡计。
    “抱歉我不会给出这个问题的证明或答案。你只能自己一直做下去，直到问题被成功解决，或者你被这个问题彻底整疯。
    “这个问题有多难？任何一个初中学生都可以读懂证明，但能自己找到证明的人非常非常的少。给我发来电子邮件的几百个人中，估计只有1%到2%的人（多数都是数学教授和大学学生）最终解决了这个问题（没看任何关键的提示）。大多数人以为自己找到了答案，但它们的证明是错误的。
    “这个问题已经在很多地方发表。问题2第一次出现在1922年，问题1第一次出现则是在70年代。我不会告诉你这个问题出自哪里，否则很多人会直接在网上搜答案，而不会去绞尽脑汁地想问题。”

大家动笔挑战吧，我过几天发一份答案。
答案已发布，在这里：http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=431