你是否曾趴在电脑前暗下“做出了这道题再睡觉”的决心？你是否曾有过“这题没想出来，老子今天不吃饭”的想法？看到最近xkcd的一幅漫画后，我突然意识到了它的危险性：不顾一切地钻进某个难题里并不是一件好事。不要轻易透露你geek/nerd的身份，不然你很容易被人利用或者陷害。
to各位MM，当你的BF在你旁边叽叽喳喳闹个不停把你弄烦了时，你会咋办？如果他正好是一个狂热的数学/物理/信息学爱好者，问题就好办多了：给他一道难题做，他很快就安静下来了。这样的题最有效果：题目新颖有趣，描述非常简单，并且解答异常困难。比如，漫画里的那道题就是一个绝好的例子……
妈的，今天不再更新了，古代汉语也他妈的不复习了，等老子把这题解决了来再说。呃，如果两个点之间的Manhattan距离为3的话……
求证：当n为奇数时，用n-3条对角线将正n边形分为n-2个三角形，有且仅有一个三角形是锐角三角形。
这道题几乎可以说是非常简单的脑筋急转弯。如果我告诉你，整个证明过程只需一句话，你再仔细想想能想到答案么？偷看答案后你会后悔你没有想到这个简单而神奇的证明。
证明：做出正n边形的外接圆后我们可以清楚地看到，有且仅有一个三角形，其外心在该三角形内部，它就是唯一的那个锐角三角形。
题目来源：http://www.eaglefantasy.cn/article.asp?id=22
我本来可以想到这个证明的。之前曾经见过不少类似的题目。比如，有一道题问你为什么当n>4时正n边形不可能内接于长短轴不等的椭圆内。整个证明过程也只有一句话：因为它的外接圆与椭圆最多只有4个交点。
北大自主招生的数学考题就只有5道题，考生反映“巨难无比”，考完立马就郁闷了，哇啦哇啦地哭。我收集到的信息不多，得到的消息也没有一一去证实。我把这5道题大致写一下，题目描述可能不准确，但基本意思就是这样。
1. 证明：边长为1的正五边形的对角线长为(1+√5)/2
2. 已知一个六边形AB1CA1BC1，AB1=AC1，CB1=CA1，BA1=BC1，∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明：三角形ABC面积为六边形的一半。
3. 某次球赛实行单循环赛制，规定赢一场得1分，输一场得0分。比赛队伍分为南方和北方，南方比北方多9支球队，且最后南方总分数是北方的9倍。求证：南方某支球队的得分最高。
4. 已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足：
a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3}
证明：max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}
5. 空间解析几何题，涉及到旋转体和光源。题目看了半天都不懂是啥意思，估计原题有附图。哪位有更准确的题目描述麻烦请在下面留言告诉我。 网上找的题目没有“圆周”两个字，怪不得半天不懂是啥意思。
立体直角坐标系xyz，在xy平面上有图形0<=y<=2-x^2，将此图形绕y轴旋转得到一个不透光的几何体V。在点P(1,0,1)处有一点光源，xy平面上有一以原点为圆心的圆，此圆的圆周上被照亮的部分长度为2π，求未被照亮的部分的长度。（感谢dd）
另据了解，清华的数学题题量较大，题目也稍微简单一些。有两道题非常有意思，我也一起写在这里。
证明：任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。
很多时候，问题越是简单，解答起来越复杂。1983年，Kobon Fujimura提出了这样一个问题：N条直线最多可以构成多少个互不重叠的三角形？这个问题后来被称为Kobon三角形问题。虽然对于一些特殊的n，人们已经找到了确切的最优解，但目前Kobon三角形问题还没有一般的结论。就在上个月，Johannes Bader用17条直线构造出85个互不重叠的三角形，它被证明是n=17的最优解。这里，我们将给出Johannes Bader构造出来的图形，并且证明它确实是n=17时的最优解。
如果n条直线中任两条不平行，任三条不共点，则每条直线都被其它n-1条直线切割为n份，产生了n-2个小线段，因此n条直线最多可以构成n(n-2)个小线段。我们将证明，n(n-2)/3是Kobon三角形问题的一个上界。有人会说，这不是显然的吗，如果这n(n-2)个小线段被“充分利用”的话，每条小线段都是一个三角形的边，n(n-2)/3显然已经是最大的了。且慢，万一两个三角形有公共边咋办？这样是不是可以“节约”一条边出来？有人甚至会想到，这样做节约的可不止一条边，如果两个三角形有公共边的话，必然会出现三线共点的情况，这将导致这两个三角形对面又产生另一对共边的三角形（图1）。但事实上，允许公共边的出现不但没有节约任何边，反而浪费了更多的线段。别忘了，三线共点这一情况的出现将减少总线段数，此时总线段数不再是n(n-2)，你将白白损失三条本该有所作为的线段（图2）。省了两条，丢了三条，可见同样是想构造n(n-2)/3个三角形，只要有共用边出现，n(n-2)条小线段是不够的。证明的基本思路就是这样，有兴趣的话大家可以自己整理出详细的证明过程。
注意这个证明并没有说存在公共边的构造肯定不是最优解。有可能对于某些n，某个包含公共边的解是最优解，只是它没达到这里给出的上界而已。另外大家可能会问到的问题是，是否存在“部分公共边”的情况。这种“大边包含小边”式的共边三角形显然是愚蠢的，因为此时其中一个三角形必然被划分为了更小的三角形，选择小的那个三角形显然更好。
当n=17时，上界n(n-2)/3是可以达到的。Johannes Bader构造出了下面这个图形，图形中包含了85个互不重叠的三角形，完美解决了n=17时的Kobon三角形问题。
查看更多：http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php
做人要厚道，转贴请注明出处
下面这道题来自今年的Virginia Tech Rigeonal数学比赛（不知道该咋翻好）。比赛时间为两个半小时，一共有7道题，这是第5题：
找出下面这个数小数点后第三位上的数字：(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))
这个问题有趣的地方就是，你真的可以用一个简单的办法估算出答案来。为什么不先试试看？
我们需要求出(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))小数点后第三位上的数。首先，(1+√2)^(-1)就等于(√2-1)，而二项式展开后你会发现(√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n)总是一个整数（根号2的奇数次幂总是一正一负抵消）。同样地，((√5 + 2)^(2n) + (√5 – 2)^(2n)) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))也是一个整数，于是(√5 + 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))和(√5 – 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))的小数部分是互补的（相加为1），我们可以依据后面这个数的小数部分来确定前面这个数（也即题目要求的数）的小数部分。而当n较大时，后面这个数很可能会变得非常小。事实上，当n=50时，
(√5 – 2)^100 * ((√2 + 1)^100 + (√2 – 1)^100)
< (√5 – 2)^100 * 2((√2 + 1)^100)
< (1/4)^100 * 2((5/2)^100)
= 2(5/8)^100
可以断定，这是一个非常非常小的数，小数点后面紧跟着的0至少有10个。这足以说明，题目里那个数的小数点后面十几位全部是9。事实上，
(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))
= 94158733601034420664808450657998303298219601745567527892456021922994
873597395955752869490271254871747.9999999999999999999999996186915243
507242961564029332966750212181162222265977213142686546252118999….
小数点后一共有24个9。
本文来源：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/PowersOf10.shtml