首先呢，让我们来一个牛B函数大回顾。这下我不知道要赚多少的PV。你能否构造一个函数f(x)，使得：
它是一个阶梯状的连续函数？
它是除常函数之外的没有最小正周期的周期函数？
该函数只在一点连续？
该函数在[0,1]和(0,1)之间形成一一对应？
该函数某一点导数为正，但该点邻域不构成单增区间？
平面上任意小的圆内均包含函数上的点？
另外还有一些可能是众所周知（所以没在Blog里写过）的函数，比如处处连续但处处不可导的函数、在有理点处处不连续在无理点处处连续的函数等等。
好了，现在呢，又一个牛B东西出现了。你能不能想出这样一个函数f，它的定义域和值域都是R，并且对于任意小的区间l=(u,v)，这个函数都能把(u,v)满射到整个R上。换句话说，是否存在这样的函数f(x)，对于任意一个实数t以及任意一个区间(u,v)，总存在一个x满足u<x<v且f(x)=t。
今天是10月25日。祝古汉MM生日快乐。
曾经有一段时间这个Blog的访问量和订阅量剧增，后来才知道因为这个Blog上的一道牛B题目被出成POJ的月赛题了。那道题目真的很好玩，题目和解答都很简单有趣。其实我挺喜欢这种“给出一个算法并证明该算法最优”类型的数学题目。这里再和大家分享一个类似的比较老的题目，有兴趣的话不妨先想想再看答案。
一次“交换”操作是指将数列中的两个数位置对换。我们假设，互不相交的若干个交换操作可以一次同时进行；换句话说，如果k个交换中任两个都不会对同一个数进行操作，那么这k个操作可以并行完成。例如，在数列
10, 6, 8, 5, 2, 3, 1, 4, 7, 9
中，我们可以同时交换第4个数和第6个数，第8个数和第9个数，以及第3个数和第7个数。经过这一次“并行交换”后，数列变为：
10, 6, 1, 3, 2, 5, 8, 7, 4, 9
任意给定一个长度为n的全排列，请问对该序列进行排序最坏情况下需要多少次并行交换？给出一种具体的算法，说明这个次数足够了；并且给出一种最坏情况，证明这个次数是必需的。
网友Mingliang Zhu在TopLanguage上发起提问。
设想这样一个计算机系统，它只支持以下几个操作：
1. 定义变量、给变量赋值；
2. 变量自身加一；
3. 令一段语句循环执行指定的次数。
这个系统只处理且只能处理0和正整数。系统不存在“溢出”的问题。
注意这个系统没有比较运算，事实上它甚至不存在Boolean值和判断语句。
循环语句也不是FOR i=a TO b DO的形式，只能是LOOP n的形式。
在这个系统上实现加法很容易，让a自增b次即可。现在的问题是，你能在这个系统上实现减法吗？
上周六的离散数学课上，我学到了一个比较有趣的东西：有序对的定义。在引入有序对之前，所有的东西都是以集合为基础的；因此当我们讨论到有序对的概念时，我们只能用集合的语言去描述它。如何用集合来叙述有序对<a,b>，使得<a,b>=<c,d>当且仅当a=c且b=d呢？集合本身的无序性给我们带来了相当大的困难。比如，大多数人可能会想到<a,b>:={a,{b}}。可惜这种定义方法是错误的。考虑集合{ {1}, {2} }，则它既可以是<{1},2>，又可以表示<{2},1>。那么定义<a,b>:={a,{b,Ø}}呢？这样也不行，道理是一样的，{{1,Ø}, {2,Ø}}既可能是<{1,Ø},2>，又可能是<{2,Ø},1>。那么，到底应该怎样定义有序对呢？如何定义最简单呢？
上次那篇日志发布之后，据说大家解题的热情相当高。Michael Brand告诉我说，他收到了很多来自中国的邮件，他感到非常高兴。在揭晓谜底之前，还是让我们先回顾一下题目：
对数列的一次“块移动”是指把一段数取出来插入到数列中的另一个地方（说穿了就是一次选择剪切粘贴的操作）。例如，数列1,4,5,6,2,3,7可以通过一次块移动完成排序（把456挪到3后面）。那么，想要让一个1到n的逆序排列n, n-1, …, 3, 2, 1变为顺序排列，最少需要多少次块移动？给出你的算法，并证明这个移动数目不能再少了。
需要指出的是，答案并不是n-1那么简单。当n=5时，只需要三步就可以搞定了：
5 4 [3 2] 1
3 2 5 [4 1]
[3 4] 1 2 5
1 2 3 4 5