某公司有 n 间办公室。每间办公室都有一盏灯，拉动它的开关即可改变电灯的状态。某些办公室之间存在“业务相关”的关系（这是一个对称的关系）。一个办公室可以和 0 到任意多个办公室相关。愚人节那天，有人在大家上班之前偷偷对办公室的电灯开关做了手脚：拉动任何一个办公室的电灯开关，都会同时改变该办公室以及所有相关办公室的电灯状态。初始时，所有灯都是关着的。证明：等到大家来上班后，总能用有限次的开关，最终把所有办公室的灯都打开。
趣题
趣题：能否把三维空间分成无穷个圆？
这是一个非常经典的问题：是否存在无穷个互不相交的圆，它们并在一起就是整个三维空间？换句话说，能否用圆形既无重复又无遗漏地填满整个三维空间？
我很早就见过这个问题。我第一次看到这个问题时，显然没能理解到这个问题的精妙之处。当时我在想，这不是显然可以吗？把三维空间想像成无穷个平行平面的并集，而每个平面又可以看作是由无穷多个同心圆组成的，这样一来整个空间不就划分成无穷个不相交的圆了吗？因此，我一直没有认真考虑过这个问题。
直到今天我才想到，上面的方案显然有问题——那些同心圆的圆心不属于任何一个圆。这个最容易想到的构造其实是错误的。看来，这个问题似乎没那么平凡。问题重新摆在了我们面前：究竟能不能把三维空间分成无穷个圆？
UyHiP趣题：限制最苛刻的选票统计程序
因为忙，不少计划写下来的东西都一直搁置着。其中一个拖了很久都没写的就是 UyHiP 一月的题目 了。这是一道看上去非常困难的算法题目，当时我没能解答出来；看到答案后才恍然大悟，拍案叫绝。这是一道非常少见的算法好题，在这里记下来。
一个国家里有 N 个公民，这些公民从 1 到 N 依次编号。这是一个民主国家，国家做出的每个决定都需要全体公民投票，每个人必须且只能投一票。
不过，随着该国家人口数量的增加，这种投票方式的效率越来越低。于是，这个国家实行了一种新的民主制度。每过四年，这个国家将会举行一次“代表选举大会”，届时，每个公民都必须且只能提名一个他信得过的人，来作为他自己的代表。注意，提名自己作为自己的代表也是允许的。对于每个被提名了的人，有百分之多少的人提名他，他就拥有了相当于多少张选票的权力（向下取整）。在接下来的四年里，国家要做出某项决定时，就只需要这些代表来参加了。
比方说，这个国家有 200 个人，在代表选举大会上，有 98 个人提名 1 号公民当代表，有 101 个人提名 2 号公民当代表，有 1 个人提名 200 号公民当代表。结果就是，只有 1 号公民和 2 号公民成为代表，在接下来的四年里参与投票，其中 1 号公民一票当 49 票，2 号公民一票当 50 票。值得注意的是， 200 号公民虽然有提名，但支持率仅 0.5% ，因此他今后四年没有当代表的权力。
另类称球趣题：验证砝码所标克数的正确性
有六个砝码，它们的重量分别是 1 克、 2 克、 3 克、 4 克、 5 克、 6 克。每个砝码上都标有这个砝码的重量，但由于生产过程中的疏忽，重量有可能被标错了。请你用天平称两次，来检验这些砝码所标克数是否完全正确。
Update: 实际克数和所标克数都是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，“标错”就是指它们的对应关系是错的。称砝码的目的只是检验所标克数的正确性，如果不正确，不用找出问题出在哪些砝码上。
答案：先把标有 1 、 2 、 3 的砝码放在天平左边，把 6 放在天平右边。注意到，如果其中三个砝码的重量之和等于另一个砝码的重量，则 1 + 2 + 3 = 6 是唯一的情况。因此，假如天平平衡，那么天平左边一定就是 1 克、 2 克、 3 克的砝码，天平右边就一定是 6 克的砝码。
但是，这只能说明， 6 克的砝码是标对了的。我们仍然不排除 1 、 2 、 3 这三个砝码之间标混了的情况，同时也不能排除 4 、 5 两个砝码标反的情况。接下来该怎么办呢？
趣题：随机折断的木棒
依次考虑下面三个问题。
1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截木棒平均有多长？
2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，长的那一截木棒平均有多长？
3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少？