有一个正方形的房间，房间的四壁都是镜子。房间里有一个天使和一个恶魔。假设房间是一个单位正方形 [0, 1] × [0, 1] ，那么天使和恶魔便是这个正方形内的两个点 (a, b) 和 (c, d) 。恶魔想要在原地发射致命激光杀死天使（激光可以无限地在镜子间反射）。天使可以根据恶魔的位置，预先在房间里放置一些守卫为自己挡住激光（守卫实际上也是一个个点）。当然，天使可以在自己周围密密麻麻地放一圈守卫，围成一个封闭的圆形，从而让恶魔不管朝什么方向发射激光，最终都无法击中天使。我们的问题是，能把守卫的数量减少到可数个点吗？能把守卫的数量减少到有限个点吗？
这是一个非常经典的问题，我已经见过不止一次了。它可以重新叙述为很多更有趣的实际问题。去年的这个时候，网友 Spark 发来邮件，分享了他在看台球比赛时想到的一个问题：最少需要摆放多少个球，才能挡住白球到目标球的所有可能的路线，迫使对手犯规？如果我们把台球也抽象成一个一个的点，问题就和前面提到的情况一样了。
今天，我终于看到了这个问题的答案，颇为激动，在此和大家分享。
同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。 1874 年， Cantor 发表了一篇重要的论文，论文中证明了全体有理数甚至是全体代数数都是可数的，但全体实数却是不可数的。换句话说，同样是无穷多，实数的数量比有理数、代数数的数量都高出了一个级别。不过，当时 Cantor 证明实数集不可数的方法并不容易理解。 1891 年， Cantor 发表了另一篇论文，给出了实数集不可数的另一种证明方法。此后，这个简单到不可思议的证明不断地震撼着每一个初学集合论的人：
事实上，实数区间 (0, 1) 就已经是一个不可数的集合了。换句话说，你绝不可能用“第一个数是某某某，第二个数是某某某”的方式把 0 到 1 之间的所有实数一个不漏地列举出来。我们大致的证明思路是，假设你把实数区间 (0, 1) 里的所有数按照某种顺序排列起来，那么我总能找到至少一个 0 到 1 之间的实数，它不在你的列表里，从而说明你的列表并不全。把你的列表上的数全写成 0 到 1 之间的无限小数（如果是有限小数，可以在其后面添加数字 0 ，把它变成无限小数）：
a1 = 0.0147574628…
a2 = 0.3721111111…
a3 = 0.2323232323…
a4 = 0.0004838211…
a5 = 0.0516000000…
………
那么我就构造这么一个小数，小数点后第一位不等于 a1 的第一位，小数点后第二位不等于 a2 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 ai 的第 i 位。这个数属于实数区间 (0, 1) ，但它显然不在你的列表里，因为它和你列表里的每一个数都有至少一位是不同的。这样，我们就证明了实数区间是不可数的。
左图是一个凹多边形，而且凹得相当厉害。作为一个完美主义者，我很难容忍这么一个图形，总想着要把凹进去的部分翻出来，把它还原为一个凸多边形。不幸的是，翻折之后的结果仍然不是凸多边形，图中又产生了新的凹陷。于是，我们想继续把凹进去的部分往外翻，直到整个图形变成凸多边形为止。问题是，这个过程有完吗？换句话说，我们一定能通过有限多步翻折，把凹多边形变成凸的吗？
这个问题有着非常纠结复杂的历史。这个问题最早可能是由数学家 Paul Erdős 正式提出的。 1935 年，他在 American Mathematical Monthly 上猜想，经过有限步翻折之后，凹多边形一定能变凸。 1939 年， Béla Szőkefalvi-Nagy 给出了一个证明。因此，这个结论又叫做 Erdős-Nagy 定理。有趣的是，这个问题是如此的自然，以至于在此之后，又有一大堆人重新提出并研究了这个问题，而且他们明显并不知道相互之间的已有研究。这事儿给我们带来的好处就是，我们有了 Erdős-Nagy 定理的好几种截然不同的证明方法。不过，这些证明或者太长，或者太高深，或者又有些漏洞。 1999 年， Godfried Toussaint 从这些证明中取长补短，给出了一个比较初等的证明。
一个小镇上即将进行大选，候选人有 m ≥ 3 个，选民一共有 n 人。选举时，每个选民在选票上写下一个候选人的名字，然后由计算机根据某种选举机制算出大选的获胜者来。如果把 n 个选民的选票依次记为 x1, x2, …, xn 的话，那么选举机制的算法其实就是一个映射到 {1, 2, …, m} 的函数 f(x1, x2, …, xn) 。
为了保证选举程序的公平性，让每个人手中的选票都能发挥作用，政府提出了“差异性原则”：如果每个人的选票都变了，那么竞选的获胜者也应当改变。也就是说，如果对于所有的 i 都有 xi ≠ yi ，那么必有 f(x1, x2, …, xn) ≠ f(y1, y2, …, yn) 。选票系统的算法虽然不是透明的，但政府保证，这个算法满足差异性原则。
差异性原则真的能够保证，每个选民的选票都有足够的权力吗？不是。差异性原则看似很强，但实际情况则是，它不但不能保证每张选票都能影响选举结果，甚至还无法避免有选民独裁选举结果的现象发生。更不可思议的是，事实上独裁现象是必然会发生的——独裁是差异性原则的必然推论！下面我们将证明，对于任意一种满足差异性原则的选票算法，我们都能找到这样一个选民，他的选票独裁了选举结果，获胜者是谁完全由他的选票决定，与其他人的选票无关。
在集合 {1, 2, …, n} 中选出尽可能多的子集，使得每个子集所含的元素个数都是奇数，但是任意两个子集的交集都含有偶数个元素。那么，我们最多能够选出多少个这样的子集来？
容易看出，我们至少可以选出 n 个子集。例如，当 n = 4 时， {1} 、 {2} 、 {3} 、 {4} 就满足要求。我们还能选出更多的子集来吗？简单地尝试后，你会觉得似乎不行。不过，这却并不是显然的，因为存在一些不那么平凡的方案，也能让子集的数量达到 n ，例如 {1, 2, 3} 、 {1, 2, 4} 、 {1, 3, 4} 、 {2, 3, 4} 这 4 个子集也是满足要求的。看来，证明最多只能选出 n 个子集，好像并不那么容易。