大家都知道，三角形具有稳定性。如果你把三根木条钉成一个三角形，则这几根木条是不能活动的。这是因为，根据三角形的SSS全等判定法则，两个三角形的三边长对应相等，则这两个三角形一定全等。但四边形就不是了，用四根一样长的木条钉成一个正方形，握着相对的两个角往两边一拉，正方形就变成菱形了。不知道大家想过没有，类比到三维空间中，多面体的稳定性又是怎样的呢？
Cauchy定理指出，如果两个凸多面体对应的面全等，那么这两个多面体全等。这告诉我们，任何一个凸多面体一定都是不可活动的。在Cauchy定理中，“凸多面体”这一条件是必需的。如果允许凹的多面体存在，对应面相等但整个多面体不全等的形状可以很轻易地构造出来。例如，想象立方体的某个面中心有一个小金字塔，这个金字塔既可以是向外凸的（就像表面上的一根刺），也可以是向内凹的（表面上的一个坑）；这是两个截然不同的多面体，但它们的对应面都是相等的。不过，这与我们的稳定性并没有关系，因为它并不是做连续的变形，而是直接一下就“跳”过来了。
很长一段时间，人们曾经猜想，不存在可以做出连续变形且保持所有面不变的“可活动多面体”(Flexible Polyhedron)。1978年，Connelly找到了第一个反例。他给出了一个由18个面组成的可活动多面体。
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Typography Art: Mathematical Induction
挖到一张好图，做成海报贴在墙上会很酷。
来源：http://fiveless.deviantart.com/art/mathematical-induction-56305755
我很喜欢Typography Art。最喜欢这个。
Count Like a Mathematician
Oh 一层一层 一层一层 一层一层 又一层层的Klein瓶
立体图与三维数据展示
我的左眼有相当严重的散光，因此无缘各种类型的3D立体图，包括看对眼、立体眼镜、左右两幅图（一只眼睛看一个）等等。后来，网上出现了一种只需要一只眼睛就能体验的3D图，原理非常简单，效果也比较震撼。只需要在两个眼睛的位置分别拍照，然后做成gif循环显示两个图片，大脑也可以从中迅速获取信息分辨出第三维来。闲逛ffffound时偶然发现这个图，突然想到：同样的方法为何不用于展示三维数据呢？于是试着用Mathematica做了一个。Mathematica输出gif动画相当简单，只需要一句Export[“file.gif”,{g1, g2, …}]就行了。在这里，我们将用三维空间的点来展示组合数的各位数字之和的分布情况。可以看到，使用3D动画的效果非常明显。
img = ListPointPlot3D[
Table[Total[IntegerDigits[Binomial[i, j]]], {i, 0, 50}, {j, 0, 50}],
ViewVertical -> {0, 0, 1}, ImageSize -> 600];
Export["F:\file.gif", {Show[img, ViewVector -> {-32, -20, 60}],
Show[img, ViewVector -> {-31, -21, 60}]}];
类似地，我们还可以做出环视一周的gif动画来，虽然这样将很难观察出细节，但对总体的把握效果将更好。