刚才在这里看到了如题所说的图像，立即想到用 Mathematica 验证一下。我选出了几个个人比较感兴趣的 k ，再用一句话便可输出所有对应 k 的图像：
kArray = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 36, 50};
For[i = 1, i <= Length[kArray], i++,
Export["F:\" <> ToString[kArray[[i]]] <> ".png",
ArrayPlot[Table[Boole[Length[Divisors[x*y]] == kArray[[i]]], {x, 1, 400}, {y, 1, 400}],
PixelConstrained -> {1, 1}, Frame -> False]]];
当 k=2 时，由于只有素数才有两个约数，因此所有点都是形如 (p, 1) 或者 (1, p) 的点，其中 p 为某个素数：
Dan Christensen发现，把所有次数不超过5的、系数在-4到4范围内的整系数多项式的所有根描绘在同一个复平面上，你会看到一个异常壮观的画面。图中的每个灰色点代表某个二次多项式的一个根，蓝色点代表三次多项式的根，红色代表四次多项式的根，黑色代表五次多项式的根。水平线代表实轴，0和±1的地方有很明显的空洞；竖直方向是虚轴，每个单位根处也都有明显可辨的空洞。
今天学到了一个新的名词，Runge现象。1901年，Carl David Tolmé Runge意外地发现，用差值插值多项式逼近函数f(x)=1/(1+25x^2)时出现了一些反常的现象。如图，灰色的粗线就是Runge函数在[-1,1]上的图象。蓝色虚线是过[-1,1]上的6个等距点所得到的5次多项式，红色虚线是过[-1,1]上的10个等距点所得到的9次多项式。可以看到，当次数变高时，插值多项式反而变得更不准确。
连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。
我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。
假设你有两份工作供你选择：工作一，有1/2的概率获得1000块钱，有1/2的概率获得2000块钱；工作二，百分之百地能稳拿1500块钱。虽然看上去两种选择的平均收入都一样，但是人们往往更愿意选择后一份工作，尽可能避免前一种工作所带来的风险。为什么面对期望收入相同的事件，人们往往愿意选择风险更小的那一个呢？前几天我去听微观经济学的课时，学到了解释该现象的一个非常有趣的科学模型（经济学大牛请直接无视掉）。
这里，我们有一个重要的假设：收入的边际效用是递减的。换句话说，增加同样多的收入，低收入者主观上会感觉自己收益了很多，本来就是高收入的人则觉得这点儿收入算不了什么。人们往往会觉得，收入从1000块钱增加到2000块钱所带来的幸福感，要远远大于收入从8000块增加到9000块所带来的幸福感。因此，如果把个人收入和它给人带来的效益画成一条曲线的话，大致就如图中的那条蓝色曲线。
假如你获得了1000元钱，你主观上获得的收益就用A点来表示；假如你获得了2000元，你主观上的收益就在B点。因此，工作一带给你的平均效用就用A和B的中点C来表示。但是，如果我直接就给你1500块钱，你将会得到一个大于C的效用D。这表明，直接选择工作二所带来的效用要高于工作一带给你的平均效用，自然人们都会选择工作二了。因此经济学中有这样一个定理，如果一个人认为自己收入的边际效用是递减的，那么这个人就是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事来说，他愿意去做风险更小的那一件。