你认为是否有可能存在这样一个函数f:在平面上随便画一个圆,圆里面总能够找到函数图像上的一个点?继续看下去前,不妨先仔细思考一下。
为了说明任一圆内都包含函数上的点,我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y),对于任意小的d都能在函数上找到一点,使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话,任意给出一个圆后,我都能保证圆的内接正方形里有点。
我们构造这个函数f的基本思路是,构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。注意到有理数是可数的,我们可以用这里的方法将全体有理数和自然数建立一一对应关系。也就是说,我们有了一个定义域为全体自然数、值域为全体有理数的一对一函数R(x),它所对应的函数值是第x个有理数。下面我们开始着手定义我们要求的函数f(x)。函数f(x)的定义域是全体有理数,定义域里的每个x都可以表示成n/m的形式(化到最简),于是我们可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。对于任意的y和d,在y±d里肯定存在一个有理数,假如按照上面的对应来看它是第m个有理数(即R(m)),下面我们就想办法说明我们总能够找到一个n,使得n/m在x±d的范围内。当然,如果运气不好m值很小的话我们就挂了,我们很自然地想到,这个m值应该越大越好,最好能重新定义一个值域为全体有理数的函数,对任一给定的有理数我们都能找出任意大的m对应到它。然后我们想到定义一个多对一的、定义域和值域都是自然数的函数H(x):
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
H(x) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 …
重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(m)),这样的话任意给定一个有理数,我们可以找到任意大的m使得R(H(m))等于这个有理数。当m足够大时,m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现一个整数n,则此时n/m在x±d的范围内。
但我们又遇到一个问题:要是找到的那个n始终不能和m互质(表明没化到最简)咋办?我的直觉是,这种极端的情况应该是不存在的,当m充分大时,总有一个满足要求的n/m出现。但我没有严格证明它。其实,我根本不需要去证明它;这个题目有趣就有趣在,我这个函数f是可以随便构造的。你或许在想,要是分母m为质数就好了。那好,我就可以强迫分母m为质数。定义一个定义域为全体质数,值域为全体正整数的函数P(x),它表示x是第几个质数:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
P(x) – 1 2 – 3 – 4 – – – 5 – 6 – – …
重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(P(m))),现在我们能够找到任意大的质数m使得R(H(P(m)))等于指定的有理数。当m足够大时,m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现两个相邻的整数p和q,由于m是质数,p和q之间总有一个数与m互质(不可能都是m的整倍数),我们需要的n也就找到了。
满足要求的函数有很多。这只是其中一种构造方法。大家能不能再想一些更有趣的构造来?
来源:http://www.douban.com/group/topic/2561708/
参考网友yushih的解答
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