下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？

下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目，稍有改动。 屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有 9 个人，其中 8 个人正好组成 4 对朋友，第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。 除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样：

Collatz 猜想也叫做 3 · n + 1 问题。这可能是数学中最为世人所知的未解之谜。它是如此初等，连小学生都能听懂它的内容；但解决它却如此之难，以至于 Paul Erdős 曾说：“或许现在的数学还没准备好去解决这样的问题。”这究竟是一个什么样的问题呢？让我们来看一下 Collatz 猜想的叙述： 任意取一个正整数 n 。如果 n 是奇数，则把 n 变为 3 · n + 1 ；如果 n 是偶数，则把 n 变为 n/2 。不断重复操作，则最终一定会得到 1 。 举个例子，如果 n = 26 ，那么经过下面 10 步之后，它最终变为了 1 ： 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → […]

下面这道题目是 Using your Head is Permitted 谜题站 2015 年 12 月的题目。 若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。下面就是这篇文章里会用到的四个图。其中，第一个图是由 2 个顶点组成的路径（path），因而我们把它称作 P2 ；第二个图是由 3 个顶点组成的路径，因而我们把它称作 P3 。第三个图是由 3 个顶点组成的一个环（cycle），因而我们把它称作 C3 ；第四个图是由 4 个顶点组成的一个环，因而我们把它称作 C4 。 选取图中的一个或多个顶点，同时选出这些顶点之间的所有边，得到的就是原图的一个“诱导子图”（induced subgraph）。在这篇文章中，我们只考虑那些连通的诱导子图。下面是一个有 6 个顶点的图，右边则列出了由它可以产生出来的所有连通诱导子图。注意，由于有些诱导子图不是连通的（比如只选择正上方的两个点和右下角的两个点，或者干脆只选择最左边那个点和最右边那个点），因而它们并没有在右边列出。在这些连通诱导子图里，很多图的本质都是相同的。比方说，第一行最后三个图和第二行前面四个图的本质是一样的，它们都是刚才我们介绍过的 P2 。当然，第一行的前六个图的本质也都是一样的，即由单个顶点构成的图，有时会被人们记作 K1 。观察最后一行的倒数第二个和倒数第三个图，你能看出这两个图的本质也一样吗？只不过，它们就没有什么固定的名字了。在这些连通诱导子图里，哪一种图出现的次数最多呢？答案就是 P3 ，它一共出现了 8 次。 我们的问题是：能否构造一个图，使得里面出现次数最多的连通诱导子图是 C3 ？能否构造一个图，使得里面出现次数最多的连通诱导子图是 C4 ？注意，如果两种连通诱导子图出现的次数一样多，那它们都不算出现次数最多的连通诱导子图。

下面这个题目来自 2015 年 7 月的 Using your Head is Permitted 。假设集合 S 是由所有形如 3x · 4y 的数构成的，其中 x 和 y 都是非负整数。因而，集合 S 是一个无穷集合，其中最小的几个元素依次为 1, 3, 4, 9, 12, 16, 27, … 。如果某个正整数 n 能表示成集合 S 中的一个或多个不重复的数之和，我们就说 n 是集合 S 的一个子集和。例如， 23 就是 S 的一个子集和，因为 23 可以表示成 3 + 4 + 16 。然而， 6 就不是 S […]