看到新词就上一下Wikipedia确实是一个好习惯。前一篇日志的那个pdf里作者提到了Gedankenexperiment(Thought experiment)，上Wikipedia一查果然学到了牛B的新东西。好多物理定律其实完全是由思维实验推导出来的，难以置信仅仅是思考竟然就能得出物理世界遵从的各种法则。经典的物理思维实验有Newton大炮、Galileo斜塔实验、Schrödinger的猫猫、Maxwell的妖怪等等。还有，Turing机也是一个伟大的思维实验。
数学上的不少悖论（特别是涉及到维度和无穷的悖论）都是相当有趣的思维实验。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所形成的旋转体。这个简单的三维图形有一个奇特的性质：它的表面积无穷大，却只有有限的体积。为了证实这一点，只需注意到：
Gabriel喇叭会导出一个非常诡异的悖论：如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍，你需要无穷多的涂料；然而把涂料倒进Gabriel喇叭填满整个内部空间，所需要的涂料反而是有限的。
有网友一定会问，那有没有什么二维图形，面积有限大，周长却无限长呢？答案是肯定的，Koch雪花就是这样一个经典的例子。不过，通过分形构造出来的这类图形似乎并不存在涂料悖论，因为递归到一定深度时分形图形的尺度将小于表面涂料的厚度，因此表面大小不能永无止境地算下去，涂满表面所需的涂料不再是无穷多。当考虑到涂料厚度时，原先的悖论也可以解释清楚了：填充内部空间仅仅涂满了图形的内表面，一旦考虑到涂料的厚度，它和外表面的区别就出来了。
另一个有趣的思维实验与世界末日论相关：我们可以通过数学算法“求”出世界末日在哪一天！！下面我们将用简单的数学知识得出这一结论：人类文明已经发展到一半的概率达到95%。
假设整个人类文明史上一共诞生了N个人，而你是其中的第n个人。根据Copernican原理，假设把整个人类文明看作数轴上[0,1]的线段，则你在这条“时间线”上可能处在的位置概率均等地分布在区间(0,1]中。下面我们在(0,1)中取一个足够大的数，比如0.95。那么，你发现自己处在人类文明的(0.05,1]区间上的概率是95%，也即n/N > 0.05。整理一下，我们得到N<20n。如果我们取目前人类文明的总人数n=600亿，代入上式我们有N<12000亿。我们得到这样的结论：有95%的可能性，整个人类文明共诞生了12000亿个人。假设世界人口稳定在100亿，人的平均寿命是80年，那么剩下的11400亿人将在9120年内走完自己的生命。换句话说，人类文明在9120年内灭亡有95%的可能性。这是一个惊人的数字啊！整个人类文明已经过了近万年，居然再过个这么多年就要结束了。
很强。
极限
人类文明的(0.05,1]区间上的概率是95%，也即n/N > 0.05
这个推倒是在时间轴上人口分布均匀的前提下？
海绵也可以是那种表面积无穷大，体积有限的东西
我们得到这样的结论：有95%的可能性，整个人类文明共诞生了12000亿个人
应该是至多12000亿个人吧……
那个喇叭以前我自己在稿纸上玩过……
然后以为自己错了……
得出有95%的概率n/N>0.05的时候，是把人类数轴按照均匀分布计算的。但是后来计算出那么多人在9120年内灭亡，确是按照未来实际可能的人口密度来计算的。这个不一致是导致悖论的原因。
如果第一步也按照实际的人口分布来计算，那么n/N>0.05的概率根本达不到95%，如果将数轴1的点设定在2008年的今天，那么世界上现存的人几乎都分布在0.9999的右侧。
涂料再多，没有厚度的话，永远充满不了Pi的体积，嘿嘿。
干脆连地核也占领了吧！
下面是什么？
Gabriel喇叭是很奇怪的说
把这个东西放到体积大于它的石膏桶里，等石膏凝固后取出喇叭，留下的是什么啊
楼上，这东西貌似是无限长的。
那个喇叭…让我想起了y=1/x^2…
Copernican原理只适用于空间，而不适用于时间。我们确实生活在一段特殊时期——距离大爆炸足够久，使复杂的生命得以形成；又距离大爆炸足够近，因而宇宙中的恒星仍在闪耀，还没有全部熄灭。
现在很多科学家已经在慎重考虑Copernican原理，假定我们地球所在位置不特殊，以此为基础所推出的一系列普适意义的宇宙学结论也太过强大（反而很特别，是不是很讽刺）
把Gabriel喇叭的“奇特性质”引申到分形构造，未必是个好主意。
不妨把三维的Gabriel喇叭的问题降一维，放到二维平面中来，或许可以更好地揭示出这个“奇特性质”的本质。
这个本质就是：一条在x轴正方向上延伸至∞的曲线，显然它的长度是无限的，而其下方的面积是有限的。
构造出这样一条曲线，是极为容易的。比如：y = 1/x^p（p>1），它在[1,+∞)区间，其曲线下方的面积，是最简单的反常积分，且是收敛的，即面积是有限的。
那么，把问题还原到三维空间中来，怎么理解“涂刷喇叭外表面的涂料是无穷多的”vs“填满喇叭内部空间的涂料是有限的”这个奇特现象呢？
应当注意到：既然可以把用在两处的涂料放在一起来比较出多寡，那就等于是默认了：这里的涂料并不是由“点”构成的某种东西，而是实实在在地在某些维度上占据了一定数量的东西 —— 也就是说，涂料在宏观上具有长度、宽度、厚度，丈量它多寡的指标是“体积”这个量；更重要的是，涂料在微观上不是由“点”构成的，而是由“分子”构成，这里的“分子”在微观上也占据了一定空间。
涂刷在喇叭外表面上的涂料是无穷多的，这是很容易理解的。而对于填满喇叭内部空间的涂料，我们现在就可以设想了：涂料源源不断地向喇叭较细的一端涌过去，直至喇叭管子的直径细到了不能再容下涂料的单个分子，这时，涂料填充喇叭内部的过程就结束了。
相比之下，如果换成了用“点”去涂刷和填充，那可就真的是“没完没了”了，更要命的是：一个曲面上的点和一个空间体中的点，是一样多的。
用人口数量来计算会有”人口分布密度不均”的指摘, 所以横坐标不用人口密度而只用纯粹的时间. 这样结果看起来更容易接受
同样假设(0,1]代表人类文明的时间段, 我们现在处于(0.05,0.95]区间的概率为90%, 我们又认为已知人类文明已经出现10000年.
在这90%的区间中, 最乐观的情况是我们正好处于5%多一点的地方, 之前的10000年只是整个文明的5%, 则整个文明有20万年, 人类还有19万年的文明;
最悲观的情况, 我们已经处于文明的95%阶段, 只剩下5%的时间, 前95%的时间就是那10000年, 则整个文明只有10526年那么长, 文明还剩下526年, 也就是5个世纪多一点.
以上结论有90%的概率成立. 两个期望值的差值大约是18.5万年, 数学期望大概有9.25万年, 期望值左右偏差如此之大, 对人类尺度来说简直算不上预言了
如果要把预言概率无限升高接近100%, 也就是把原来两端的5%距离无限减小, 那么最悲观预期趋于0, 最乐观预期趋于正无穷, 最大误差值会趋于正无穷, 预言就变得毫无意义. 当然此预言是100%成立的, 因为跟没说一样.
若减小期望值的偏差并让概率处于一个可接受范围(及格)内, 不妨认为我们有60%的概率处于人类文明(20%, 80%]段的某一点, 那么最悲观和最乐观的剩余时间分别是2500年和40000年, 平均剩余21250年, 但偏差也是万年数量级的.
地球的位置特殊是不是有人存原理解释啊？
2012什么的..
作为一个数学很差的高中生……对于理科很棒的人一直是仰慕+敬佩。
记得是很久前搜一道数学题搜到你博客的。然后就存了下来。
望安。
人口如果不规则增长,就计算不出来世界末日鸟~
很有趣
Gabriel的喇叭的面积能用无穷级数来解释吗？
楼主你一开始就说发展到一半的概率是95%,这不就等同于文明还剩一半的概率是95%吗。后面的论证似乎不需要了吧。
还有那个喇叭的问题，即便体积有限也是倒不完的，因为油漆的消耗速度会越来越慢，到后面就快为零了，所以在理想化的情况下油漆也是倒不完的。
根据以往的经验看，恰恰相反只要有一滴有体积的涂料就能产生无穷大的面积，从而可能涂满整个表面。
涂刷在喇叭外表面上的涂料是无穷多的，这是很容易理解的。而对于填满喇叭内部空间的涂料，我们现在就可以设想了：涂料源源不断地向喇叭较细的一端涌过去，直至喇叭管子的直径细到了不能再容下涂料的单个分子，这时，涂料填充喇叭内部的过程就结束了。
这个题有点坑人啊，我觉得是不是应该再定义一种“数学上的涂料”以区别于“物理上的涂料”！