这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题。构造一个多边形，使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O ：经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分。这看起来不大可能对吧？但其实构造却并不困难。你能想出来吗？
首先，在平面直角坐标系的第一象限内，沿着坐标轴放置一个等腰直角三角形。在第二象限内，拼接一个面积相等的等腰梯形。在第三象限和第四象限内，继续摆放面积相等的等腰梯形，并且让它们离原点越来越远，以保证最终所得的图形确实是一个多边形（而不是一块环形区域）。现在，把平面直角坐标系的原点记作点 O ，则过点 O 的任意一条直线都将把整个多边形分成面积相等的两份。
为了验证这一点，我们举一个例子。如上图，过点 O 作一条过一三象限的直线。容易看出，三角形 OAB 的面积占了三角形 OPB 面积的几分之几，三角形 OCD 的面积就占了三角形 OQD 面积的几分之几，同样地三角形 OEF 的面积就占了三角形 ORF 面积的几分之几，从而梯形 CDFE 的面积就是梯形 QDFR 的几分之几。由于三角形 OPB 的面积等于梯形 QDFR 的面积，因此三角形 OAB 的面积也就总是等于梯形 CDFE 的面积。自然，三角形 OAP 的面积也等于梯形 QCER 的面积了。而第二象限和第四象限的图形面积也是相等的，因此这条直线两侧的面积总和相等。类似的，过点 O 作其他方向上的直线，直线两侧的面积也相等，道理是一样的。
来源：http://www.mathteacherctk.com/blog/2012/05/a-crooked-polygon/
第一
前排膜拜
前排膜拜
{(x,y)|-1<x<1&&-1<y<1}{(0,y)|0<y<1} 是不是也算一个多边形呢? (一个正方形被从原点切了一刀)
果然是崎岖的多边形啊……其实是切成了三份- – 如果切成两份的话是不可能的。
不过我在想这个不一定非要四个象限，如果等分成三个不知行不行，得算一下，但是五个六个七个……应该都是可以的，而如果取到极限的话应该会变成两条光滑曲线，很想看看是什么样的。嗯，回头有空试下。
（1）首先该多边形只能是凹多边形.
（2）所以不能只是切成2块
（3）什么是多边形，这个定义也是很模糊的， 比如一个三角形，绕一个顶点旋转180度， 得到的这两个三角形算不算一个多边形呢？再比如环形是不是一个多边形？呵呵
BDF那条直线切一下会有什么效果呢？
后排膜拜
哦，不用算，等分成三个也可以的。很明显。
光滑曲线只有一个非常trivial的结果……好无趣。算了~
膜拜
其实这个很显然的嘛……
其实一个菱形也可以吧?也属于多边形..
@地幔….梯形与三角形面积相等.
完了发现自己连多边形的概念都很模糊
以O点原点画一个对称漏斗，然后把漏斗上下最宽的地方用两个长方形白纸条连起来。。。。这个叫多边形么。。。。。。。。
难道连通了就不叫多边形吗？
多边形的定义是由有线条线段围成的单连通区域，要是多连通，或者可以撕破的话，这个问题就比较简单了
M牛总算回来了，激动啊。。
不要再误导人了，若非生在中国，你怎么会有这个闹腾的舞台。
中文系的搀和什么呀。
你的所有数学文章我大致浏览了一遍，傻得喷饭。
我只不希望你的走狗们在你身上浪费时间了。
ni tai you cai
找一个重心位于边界上的一个图形 -> 必然是一个凹函数。不过这个让第一象限的三角形定点来覆盖重心还是挺牛的想法
真巧妙~
我觉得复杂多边形是可以的，不知道题意中包不包含
我觉得18楼想D人可以文明点,而且没有人说这里是数学专业讨论区,只是个人blog,还有,并不是外国就没有这样的讨论天地,估计你是没有出过国的人,外国人也是人,并不比中国人好到哪里去,一个人的能力和修养可能和血统有关,但是和你所在国家无关.最后建议你D人时不要触犯众怒
18楼没教养
18楼你能写出这种水平的文章吗？
哎，18楼。。matrix67在哪树敌了么。。。
重心 多边形 凹多边形 太精彩了
楼层: 地基, woopeking 说的“一个三角形，绕一个顶点旋转180度”所构成的图形就可以达到题目的要求，那样比楼主给出的答案简明，但是楼主给出的答案也很有技巧性！
太精彩了！
“两部分”不对了啊，一下子变三部分了……
真棒！
18楼，我草泥马，操你姐姐，操你妹妹，操你奶奶，操你外婆……
18楼我大致浏览了一遍，一个2b~
我全部看了下 分析的不错
我自己发现一个小东西：对于任意的凸多边形，其内部是否存在一点，使任意过该点的直线都平分该多边形的面积？
答案是：当且仅当该凸多边形是中心对称图形
多边形的每个顶点能且只能与其它两个顶点相连。答案里有分成三个部分的情况，可是构思过程还是很巧妙，佩服五体投地。
太精彩了。。。。
18楼，你身上只长了一个anus还长嘴上了。
能多提供客户一分钱的货物，我们绝不少下来。
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