下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感数学之美。在此整理出来，献给所有还在中学读书的读者，以及早已远离中学数学的 80 后。不管大家是否喜爱数学，想必都会被这些奇妙的结论所震撼。
三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。
三角形的三条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的三条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论：
定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。
证明：由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A 、 C 、 D 、 F 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理，由 A 、 B 、 D 、 E 四点共圆可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。
如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话，我们就有了下面这个听上去很帅的推论：
推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
证明：因为 AD 垂直于 BC，而刚才又证明了 ∠1 = ∠2，因此 ∠3 = ∠4 ，即 HD 平分 ∠EDF 。类似地， HE 、 HF 都是 △DEF 的内角平分线，因此 H 是 △DEF 的内心。
另一个有趣的推论如下：
推论：将 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ，假设 EF 翻折到了 EF’ ，则 EF’ 和 DE 共线。
证明：这可以直接由上图中的 ∠1 = ∠2 推出。
1775 年，Fagnano 曾经提出了下面这个问题：在给定的锐角三角形 ABC 中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano 问题”。 Fagnano 自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。
定理：在 △ABC 的所有内接三角形中，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
证明：像上图那样，把三角形翻折五次，得到折线段 DEF1D2E2F3D4 。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。另外，注意到如此翻折之后， BC 和 B2C2 是平行且相等的，而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置，因此从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这就说明了，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
不过，这还不够震撼，垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其它的等角。
定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。
证明：由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B 、 F 、 H 、 D 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。
这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论。
推论：把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ，则 H’ 在 △ABC 的外接圆上。
证明：由于 H 和 H’ 沿 BC 轴对称，因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已经证明过了， ∠1 = ∠2 。因此， ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所对的角，它们相等就意味着 A 、 C 、 H’ 、 B 是四点共圆的。
换一种描述方法，这个结论还可以便得更酷：
推论：把 △ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1 、 H2 、 H3 ，则 A 、 B 、 C 、 H1 、 H2 、 H3 六点共圆。
证明：这可以直接由前面的结论得到。
另一个更加对称美观的结论如下：
推论：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足， H 是垂心，则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
证明：做出 △ABC 的外接圆，然后延长 HD 、 HE 、 HF ，它们与外接圆的交点分别记作 H1 、 H2 、 H3 。前面的结论告诉我们， HH1 = 2HD ， HH2 = 2HE ， HH3 = 2HF。而相交弦定理（或者圆幂定理，可以用相似迅速得证）告诉我们， AH·HH1 = BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同时除以 2 ，就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
让我们再来看一个与外接圆有关的定理。
定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足， H 是垂心。过 C 作 BC 的垂线，与 △ABC 的外接圆交于点 G 。则 CG = AH 。
证明：我们将证明四边形 AHCG 的两组对边分别平行，从而说明它是一个平行四边形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ，因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角，这说明 BG 是圆的直径，也就说明 ∠BAG 也是直角，即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ，所以 AG 与 CF 平行。因而四边形 AHCG 是平行四边形， CG = AH 。
它也能带来一个更帅的推论：
推论：若 H 是 △ABC 的垂心，O 是 △ABC 的外心，则 O 到 BC 的垂线段 OM 与 AH 平行，并且是 AH 长度的一半。
证明：前面我们证明了，上图中的 CG 与 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圆的直径， BG 的中点就是圆心，也就是 △ABC 的外心 O 。垂线段 OM 是 △BCG 的中位线，它平行且等于 CG 的一半，从而也就平行且等于 AH 的一半。
好了，下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝：
推论：三角形的垂心、重心和外心共线，且重心在垂心和外心连线的三等分点处。
证明：把 AM 和 HO 的交点记作 X 。刚才我们已经证明了， AH 与 OM 平行，且长度之比为 2:1 。因此， △AHX 和 △MOX 相似，相似比为 2:1 。由此可知， HX:XO = 2:1 ，即 X 在线段 HO 的三等分点处。另外， AX:XM = 2:1 ，也就是说 X 在三角形中线 AM 的 2:1 处。这说明， X 正是三角形的重心！
任意给定 一个三角形，它的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成 1:2 两段。这个美妙的结论是大数学家 Euler 在 1765 年时发现的，它是众多“Euler 定理”的其中之一。
说到 Euler 定理，九点圆是不能不提的；不过由于篇幅有限，也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多，很难在一篇文章里把它们讲完。而且，这还仅仅是与垂心相关的定理，三角形中的心还有很多很多。1994 年，美国数学教授 Clark Kimberling 开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里，每个三角形的心都有一个编号，编号为 n 的心就用符号 X(n) 来表示，其中 X(1) 到 X(8) 分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、 Gergonne 点和 Nagel 点。不但每个心都有自己独特的几何性质，各个心之间还有大量共线、共圆的关系。
这个网站的地址是 http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 。目前，整个网站已经收集了 3000 多个三角形的心，且这个数目还在不断增加。
沙发支持
沙发。。。
orz……为什么没人呢？
看到9点圆和欧拉线的时候泪流满面……
另外推荐单墫的《平面几何中的小花》，很不错的一本书。
matrix犀利，想起当初初中不认真听课，原来有这么多东西没听到。。
初中完全没学过什么4点共圆,9点共圆…上海学校不教吧
那个网页坑爹啊。。那么长的一个单页面
请教楼主 这些图使用什么软件画的？谢谢~
3000多个心，怎么加载得完啊
帅，三角形的垂心是其垂足三角形的内心
谢谢，matrix67构起我们80后的记忆，其中几个证明都是难题啊，在那个时候
…..
好久没更新啊，M67君……
这些证明真的很有意思……当时学平面几何的时候感觉没那么有趣啊……
这种巧妙的证明真是让人X疼……
简单画了画，对钝角三角形，垂心不再是其垂足三角形的内心，但此时，某一个原三角形顶点会成为垂足三角形的内心。且原三角形垂心与此顶点及另一垂足有三点共线关系(感觉上还应该是成比例的）。
很久没画过平面几何的东西了，这里面有好多也是初中时的我所不知道的。感谢matrix同学。小小的握爪吧。
请问Matrix67 文章中的几何图是用什么软件画的？
喜欢平几的moer表示很熟悉，终于有很熟悉的了，，，
定理：在 △ABC 的所有内接三角形中，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长，证得很漂亮
我也想问matrix67，这些图是用什么画的？
好几年前就看m67大牛的blog了。。。
作为一个数学人还是惭愧啊，很多数学知识远不及m67。。。
m67快过生日了，祝大牛生日快乐吧！！！
之前还听过一个关于82的搞笑故事，，，，哈哈，，
想请问下matrix大牛，文中的图形都是用什么软件画出来的？
有个笔误：“变得更酷”，写成了“便得更酷”
另外最后一个三心共线处比例应该是2:1吧。
太强大了。。。前来膜拜。。。
5万行3MB的网页按行业惯例是要作杀猫提醒的哇…
5万行3MB的网页，按行业惯例是要做杀猫提醒的哇…
Orz……
ps：17楼可以去看看这篇日志就知道了啊。。。http://www.matrix67.com/blog/faq
man or boy test查查看有67之源
Orz…..
关于垂足三角形，原三角形的三个顶点都是这个垂足三角形的旁心（易证）
而且这个反过来也成立（也就是三角形的内心是三角形的旁心所构成的三角形的垂心，并且原三角形的内心，一个顶点和其所对的旁心是三点共线的）
Orz…..
关于垂足三角形，原三角形的三个顶点都是这个垂足三角形的旁心（易证）
而且这个反过来也成立（也就是三角形的内心是三角形的旁心所构成的三角形的垂心，并且原三角形的内心、一个顶点和其所对的旁心是三点共线的）
我看得内牛满面。。。
看得我内牛满面。。。
让我得出一个题外的推论：国外网速真的比咱快很多！
青葱时代
谁知道matrix67的高亮方框是怎么弄的。。
呃，matrix67神牛能不能给推荐一些书目？比如数学上的，或者算法之类的
m牛喜欢这个的话。。。我搞MO的时候倒是有总结很多
高深，支持博主。
作为一个高中生，发现自己如果对某个数学知识点的详细发展史和产生背景，最重要的是知识在发明之初如何简化人们计算，有较为详细了解会对内容有所谓的“举一反三”的能力，希望可以的话告诉我一些关于了解“高中数学知识点的详细发展史和产生背景”的方式，最希望是一些互联网资源。注：没有email
初中那会正是我对数学极感兴趣的时候，九点共圆我记得就是殴拉圆吧，可惜这些课本里基本不提及，只在一些竞赛书里会有介绍，数学之美相当令人陶醉的。。
推论：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足， H 是垂心，则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
这个证明太傻了……还用延长？AFDC本身的四点共圆就证了一个，后边类似……脑子时不时也有点小短路哈？……
有一本蓝皮的《近代欧式几何学》，不知楼主看过否，里面就有N多关于平面几何的结论。
初中时看过，现在快忘干净了。。。悲催！
三等分角与数域扩张 [1]
李尚志[2]
一角三分本等闲，尺规限制设难关。
几何顽石横千载，代数神威越九天。
步步登攀皆是二，层层寻觅杳无三。[3]
黄泉碧落求真諦，加减乘除谈笑间。
注：
1. 这些诗都是为湖南教育出版社编写的高中教材写的“章头诗”，每一章前面写一首，以概括这一章的主要内容的思想或方法。
2. 李尚志，数学家，北京航空航天大学博士生导师.
3. 尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。
数域扩张、数域不断作二次扩张、实数数域有限次地作二次扩张、有理数数域有限次地作二次扩张。它们是不一样的。李尚志把它们当作同一个内容来使用了。李尚志作了一首荒唐的诗。这也是必须翻过来的一个数学案。
欧拉线许多证明都很漂亮
中位线三角形与原三角形关于重心位似，而中位线三角形垂心就是外心（用这个可以证明垂线共点），所以秒杀欧拉线丫~~
表示很喜欢稀奇古怪的数学题（很多题都很漂亮），希望能多和M牛交流交流~~~
其实道理就是这样的
我也想问matrix67，这些图是用什么画的？
尺规作图只能将数域不断作二次扩张，永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键
ÄãºÃ£¬ÎÒÊÇÀÏÑÓʼþÖ±Ïú·þÎñÌṩÉÌ£¬Èº·¢Óʼþ100Íò½ö80Ôª¡£Î¨Ò»¹úÄÚ¶¥¼¶ÓʼþÍƹãÌṩÉÌ¡£¹úÄÚµÄÊг¡¼Û¸ñ£¬Ò»°ÙÍò·¢ËÍÊÇ3ÍòÔª¡£¼¼Êõ¸ïÃü´øÀ´ÐµÄÉú²úÁ¦£¬ÏúÊÛÒ»ÇÐÈ«Î޵У¡£¡£¡ÁªÏµÀÏÑqq2273272132£¬ÓÊÏ䣺2273272132@qq.com µç»°£º18983839805
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现在初中圆幂都不教，别说这个了.
真是个好东西，高中教材里也需要一些新鲜的血液了
顿时尴尬，好的数学网站一般都是英文的，（当然除了这个）然后英文看不懂。。。wc
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