据说，17世纪时，大数学家Fermat曾向意大利的物理学家和数学家Torricelli提出过这样一个问题：在已知锐角三角形ABC内求一点P，使得PA+PB+PC最小。Torricelli证明了，这个点是存在的，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出，若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，交点即为所求的点P。这个点后来被称为Fermat点，通常记作F。这个定理有很多种证明，这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。
考虑三角形内任一点P，将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。显然，△BPP'是等边三角形，PB=P'P；同时，PA也转移到了C'P'，于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC，P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。注意C'的位置是和P无关的（C'AB始终成等边三角形），因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。这个最小值是可以达到的，即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°，则旋转之后∠C'P'B也等于120°，正好与∠BP'P组成一个平角，于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上，C'P'+P'P+PC达到最小。这个点就是我们要求的Fermat点F。注意这个点F满足以下两条性质：在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上，对AB张角为120°。由对称性，∠BFC和∠CFA也都等于120°，且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。
这个题目真正有趣的地方在于，它有一个非常简单的物理解法。我们可以用Fermat原理来说明，为什么Fermat点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度，那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时，路径B->F->C必然符合光的传播性质，反射点F满足入射角等于反射角，也就是说AF的延长线（即法线）平分∠BFC。同样地，固定BF的长度，则要想AF+FC最小，BF的延长线必须平分∠AFC。类似地，还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时，AF+BF+CF才能达到最小，否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等，我们立即看到，右图中所有这6个角全都等于60°。这样，我们就得到了先前证明的结论：存在点F使得它到A、B、C的距离和最小，此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。
上面的这个问题有一个扩展，叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, …, An，每个点都有一个权值W1, W2, …, Wn，广义Fermat点是这样的一个点P，它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性，有非常高的实用价值。比如，城区里有n个住宅区，第i个住宅区里有Wi个人，问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前，广义Fermat点问题还没有一般结论，但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明，这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上，我们可以建立力学模型找出这个点来。
取一块木板，在木板上标出n个点所在的位置，各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳，把所有绳子的其中一头扎结于一点；第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去，绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后，把木板水平悬在空中，此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢？
道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向，此时重力势能转化为动能；当整个系统静止时，势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离，那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定，因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值，所以ΣPAi*Wi达到最小。
Matrix67原创
做人要厚道，转贴请注明出处
sofa
请问你这里的插图是用什么软件制作的？
我很少作几何插图，要是让我作，估计凭直觉就直接用AutoCAD了。。。。。汗
翻了一下旧帖，原来博主曾经回答过了。。。。。。
“几何画板，mathematica，paint dot net混用”
好久没来看了!
没更新多少哦!
这就是现在人工智能发展的第二大方向，揭示人类灵感原理。
发现楼主个性和选择方式和我颇相似。但我没你长得帅。。。。。郁闷中
宇宙就是个精美的计算机！
广义Fermat点问题还没有一般结论？但这不就是计算重心吗？We do not even need Calculus in this situation.
广义Fermat点问题还没有一般结论？但这不就是计算重心吗？We do not even need Calculus in this situation. Wir brauchen das Calculus nicht.
广义费马点已经有一般结论了。杨学枝的一篇论文把广义费马点问题解决了
这个力学模型貌似有问题，不一定能达到稳定状态，最简单的情况，如果是两个点，点的质量（权重）不同，这永远都无法平衡啊
回十楼，不平衡就对了，一家3人另一家2人，那按那个算法邮局就应该建在3人的家里边……这样是最小的。同样，如果有一家人特别多，多到大于其他家的总人数，那就会建在那家的家里……
宇宙就是个精美的计算机！
采用费马原理的光学反射定律证明费马点的方法，存在一个逻辑上的问题：费马点要求的是F到A B C三点距离之和取最短，但光学方法给出的限制是AF+FB最短，同时BF+FC最短，这两个命题不等价吧？
仔细看证明, 他是先固定了三条线的一边, 证明了另外两条线的关系, 再重复证明, 得出了三组必要不充分条件. 又因为这三组条件的交集是唯一的, 所以自动就变成了充分条件…
首先锐角三角形的条件可以减弱为最大内角小于120°, 只要最大内角小于120°点F就仍然在ABC内
推广到任意三角形也很简单:
如果有一个内角等于120°, 点F正好落在120°顶点上
如果有一个内角大于120°, 点F在ABC外
后两种情况点F仍然满足对三边张角都为120°且为到三边距离和最小的点
我想出来的用Ceva定理证明三线共点的方法:
三边向外作正三角形ABC’, BCA’, CAB’
设AA’, BB’, CC’ 与三边交点分别为 X, Y, Z
易证三组全等三角形:
ABA’, C’BC
BCB’, A’CA
CAC’, B’AB
BX/XC = (ABA’)/(A’CA) (括号表示三角形面积)
CY/YA = (BCB’)/(B’AB)
AZ/ZB = (CAC’)/(C’BC)
全等的三角形当然面积相等, 三式相乘得:
BX/XC * CY/YA * AZ/ZB = 1
纠正一下对于大于120度的情况费马点应该还是在120度顶点上
广义费马点的用力学模拟解法解，解不一定唯一吧，就是说可能有局部最大值吧
Hey, that post leaves me feeling foslioh. Kudos to you!
假如我不能，我一定要；假如我一定要，我就一定能。
多谢分享！
楼主，带走了哈
原来这就是吊打GTY。。
I wаnt to to thank you foг thjs excellent read!!
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