UyHiP上个月的题目：把所有大于 1 的自然数划分成两个集合，证明至少能在其中一个集合里找到互不相同的三个数 a 、 b 、 c 满足 a^b=c 。然后，试着给出一种划分，使得只有其中一个集合里存在这样的三元组。
Update: 后一个问题要求两个集合都是无限集。感谢网友 Triple.J 的提醒。
证明：如果集合 A 里只有有限个数，那就在集合 B 里选两个比集合 A 中的最大数还大的数 a 和 b ，显然 a^b 也在集合 B 里。类似的，若集合 B 里只有有限个数，我们立即可知 A 中存在满足 a^b=c 的三元组。因此，我们只需要讨论两个集合里都有无穷多个数的情况。
从集合 A 里选一个数 x ，从集合 B 里选一个数 y 。无妨假设 xy 在集合 A 中。在集合 A 中选一个比 xy 大的数 r 。由于集合 A 是无限大的，因此这样的数总存在。由于 r 比 xy 大，因此 x 、 y 、 xy 、 r 、 r^x 、 r^(xy) 这六个数两两不同。为了避免在同一集合里出现满足要求的三元组， r^x 和 r^(xy) 都必须在集合B里面，但这样的话， r^x 、 y 和 r^(xy) 就成了符合要求的三元组了。
后一个问题则出奇的简单：把所有素数放进一个集合，所有合数放进另一个集合。显然，一个素数不可能是另一个素数的整数次幂
。
这个月的题目非常有意思，点击这里围观。
List of solvers里面中国人占了很多耶。
简单的数论题。
呐呐，我还真没想到素数去……
问题后半部分应该加强要求：划分出来的两个集合都是无限集。
否则就很无聊：A={2}，B={n>2}。
我这里有个问题请教各位.
【问题】
给定任何一个大于 2 的整数 n，考虑闭区间 [-n, n] 上所有整数组成的集合 S = {-n,-(n-1),…,0,1,…,n}，问是否总存在满足如下要求的分解：
将 S 中的所有整数 m，都分解成 S 中两个整数 m1, m2 的和的形式，即 m = m1 + m2；
当 m 取遍 S 时，m1 和 m2 也分别取遍 S；
另外，0 必须分解成 0 + 0.
【举例】
n=3 的其中一种分解方法是
m： -3 -2 -1 0 1 2 3
m1：-2 -3 2 0 3 -1 1
m2：-1 1 -3 0 -2 3 2
不简单的数论题。
你的意思是集合里根本不含0，否则可以-3=-3+0，就平庸了。
1 = 2-1
2 = 3-1
3 = 4-1
4 = 5-1
5 = 6-1
6 = 1+5
等式两边同时取符号，得到另一半。很有规律，证明很平庸，问题也平庸。
没注意‘分别’，我错了。
博主为嘛不提供删除或者编辑功能呢。。。地核
写一个不是很好的证法…反证
先证所有的平方数不全在同一集合。这显然，4，16，4^16不在同一集合…
不妨设2与a^2在A，那么a^4,a在B，所以4在A
再考虑4与b^4，类似可得16在A
4^2=16矛盾了……
被这月题目藐了
期末考试期间没心情想题目
蛮有趣的一道题，呵呵
加强版能否成立：将自然数任意分成N个不相交的子集，则至少一个子集中可找到三个不同的自然数a，b，c使得a^b=c成立。试证明之或找出破坏此性质的最小N。
呵呵，受教了，蛮有意思的一道题
很聪明！