在集合论中，一个重要的概念就是集合的可数性。我们说一个集合是可数的，如果这个集合内的元素能够与自然数集N建立一一对应的关系。换句话说，我们能够给这个集合里的所有元素按次序排好，能够以某种顺序为所有元素进行编号。在这里，我们看到了两个重要的结论：全体有理数集合是可数的，以及全体实数集合是不可数的。在证明全体有理数可数时，我们用到的方法通常是当年Cantor所用的对角线方法。不过，事实上我们还有一个更简便的方法。在证明一个集合可数时，我们只需要建立一个映射到自然数集N的函数，使得每个自然数的原像都只有有限个即可。这样的话，我们便可以从小到大考虑自然数集中的每个元素，列举出它所对应的原像，从而得到原集合的一种编号次序。
例如，欲证明全体整数是可数的，只需要考虑函数f(x)=|x|，这是一个从全体整数到自然数的函数，并且每个自然数最多只有两个原像。这样的话，我们便可以立即说明全体整数是可数的。类似地，为了说明全体有理数也是可数的，只需要令函数f(p/q)=|p|+|q|。显然分子分母的绝对值和为某一指定自然数的只有有限多种情况。
下面是一些更有意思的情形。怎样用这种方法来证明自然数集N的有限子集个数是可数的呢？一个容易想到的函数是f(S)=|S|，即集合S中的元素个数。不过细想一下发现不对，因为在元素个数给定的情况下，自然数子集有无穷多种取法。这告诉我们，我们还需要找到一个更巧妙的限制。想一想，用怎样的条件才能把自然数子集给限制住呢？令f(S)=max(S)，即集合S中的最大元素。由于有限集中必然存在一个最大元素，因此这个函数是有意义的。又由于最大元素为m的有限集最多有2^m个，这就立即说明了自然数有限子集的个数是可数的。
更有趣的是全体整系数多项式的可数性。受上面这一问题的启发，我们自然而然地想到函数f(P)为多项式P的最高次数。不过我们立即发现这样不行——指定次数的多项式有无穷多个。那么，定义f(P)为各项系数的绝对值之和呢？仔细一想发现也不行，例如1, x, x^2, x^3, x^4, …这无穷多个多项式对应的函数值均为1。不过，如果把上面两个条件结合在一起，我们的结论也就证到了：令f(P)为各项系数的绝对值之和加这个多项式的最高次数。这样的话，我既设定了多项式的系数上界，又设定了多项式的次数上界，有效地限定了多项式的数目。
来源：http://www.tricki.org/article/A_good_way_of_proving_that_a_set_is_countable
SF
板橙
恩。。
哇抢楼
地板?
“又由于最大元素为m的有限集最多有2^m个，这就立即说明了自然数有限子集的个数是可数的。”
It should be 2^(m-1)? It makes more sense. It is also 2^(m-1) in the original article
呼啊，终于更新鸟~~~
@燕仰
是啊我等了好多天呢~
@燕仰
话说你在这里的那个网站地址是不是该改一下了…
仍然显示“http://www.matrix67.com/yanyang/”耶…
有那么麻烦吗……
定理：可数个可数集的并仍是可数集
最后那个整系数多项式集合Z(x)，也就是∪{i=0,1,…} Z^i
而Z的有限次幂当然是可数的啦
顶10楼的，引用了一个定理：）
整篇废话而且这方法明显是自找麻烦坚定完毕路过。。
整系数多项式可数，代数数就可数了。NB。
极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了
——中学重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]编序号常识使“潜藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，…，n+1，…不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y=n+1等函数的值域而将两异集误为同一集。
[关键词]标准及非标准无穷大自然数；假自然数集；自然数公理；集论；函数的值域；可数无限集的定义；推翻
化学曾被错误的燃素说统治百年。无独有偶，数学也被极荒唐的集论统治百年。
一、太浅显编序号常识证实太惊人真相：此1，2，…，n，…之外还有名亡实存的无穷大自然数
王元、万哲先等译《数学——它的内容，方法和意义（3）》8页：若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，…，元n，…（所有标记数n组成自然数列1，2，3，…=N——黄小宁注）则A 是可数无限集（记为A～N）。（此书将0排除在N外，本文遵从此约定。）此定义要抓住2个要点：①A的元都可以配上自然数号码。②必须用完一切自然数。 显然若N不够用，或用不完而仅用部分自然数就能将A的各元都配上自然数号码，则A就不～N。以下揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数无限集”是错误的定义。
用一车砖建一围墙，建到还剩一缺口就没有砖了。“拆东墙补西墙”地补上此缺口并不能改变砖不够用的事实。
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U～N增一元得U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。显然用自然数n标记U～N的各元就无一遗漏地用光一切自然数了，否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者，反映其连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂。故H中的a已没有自然数为其标记而须用别的数如超自然数来标记，即H是不可数集——其元不可都用自然数来标记，原因是N不够用。“拆东墙补西墙”地重新编号不能改变N不够用的事实。
所以可数集定义及编自然数号码常识表明有
h定理1：可数无限集的任何一部分E都不～N（仅用一部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码）。
h定理2：C+D（C～N）必不～N（N不够用）。
例如将N的偶数都编上自然数号码：2=2号数，…，2n=2n号数，极显然：N的奇数都没有用到。重新编号: 2n=n号数，所有编号数n=1，2，3，…组成V。极显然：还可将N的奇数都编上自然数号码：1=m号数，3=m+1号数，…，显然m只能是V外自然数>V的一切n！说对N的偶数都编上自然数号码就用光一切自然数了，显然是错误的，因N的各数都能编上自然数号码。其实只是用光V的一切自然数罢了。而这用光…也还只是给N的偶数都编上…而根本不能给N的各数都编上…，充分证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。
“大道至简至易。”关键：各2n∈N都有编号数n∈VÌN的同时各2n-1∈N也都有编号数∈WÌN，显然V+W=N，W的各数都在V外！——53字符使“潜藏”5千多年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时显示“N的真子集可～N”是百年重大误解。否定无理数的数学自相矛盾，否定无穷数的标准分析也必自相矛盾，从而极难学难教。
故如[1][2]所述若N的一切n都有对应2n>n则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。故定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
“大道至简至易。”有数学家说:数学也可看图识“字”。U～N的1号元可形象化为①，小圆盘表示U的元，圆盘中粘贴上自然数1。U的每一元(圆盘)上都贴一相应自然数，每一自然数都被贴在U的圆盘上——形象说明…就用光一切自然数了。现在若要在U外的圆盘上粘贴自然数1就须将U的①中的1撕下来移到…，同样，…。由此可知U外圆盘上粘贴1后，U中就必总有一圆盘上不能有自然数，虽然贴上自然数的圆盘可排为①，②，③，…。
二、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集
如[1][2]所述，自然数列（1，2）（3，4）…=N的各奇数与各偶数能一一配对而无一“单身”，而N的各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= N′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假自然数集！而且关系式
y=n+1>n=1，2，…（自然数列）
也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年！
显然相应有各项都可用自然数来标记的可数级数(项1+项2)+(项3+项4)+…，其各项可一一配对而无一“单身”。奇数项为-1偶数项为1的发散可数级数s=（-1+1）+（-1+1）+…=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是s增添新首项1得1+s=1+∑（-1+1）=1就打破了各项可一一配对的格局：其首项1只能“单身”，即其奇数项与偶数项不一样多！从而使其正数项与负数项不可一一抵消为0。这1+s显然是非可数级数！注！1+∑（-1+1）的各项不可一一配对，故其不可加括号为∑（1-1）。…。
可见，可数无限数列（级数）增奇数个项后就成为非可数无限数列（级数）了。显然相应有
h定理3：其奇数号元与偶数号元不可一一配对的“可数无限集”是似是而非的假可数集。
这就推翻了“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集[3]。”。
{1，2，3，…}=N′
{1，2，3，…}=N
自识自然数5千年来一直无人识破此｛n｝≠彼｛n｝就使人不知百年自然数公理“N的各元n都有对应 n+1∈N”是一种错觉。从而使康脱…。以上拨开5千年迷雾地说明“N′=N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…，使人们坚信：谁说推翻了百年自然数公理和集论谁就是想出名想到疯了！
三、结束语
1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。（张锦文等《连续统假设》20页，辽宁教育出版社，1988）。注意到这是集论问世30年后的预言，故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中，智慧超群的天才大师超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]田开璞，现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，1998.4：10。
[4]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
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三、太浅显“一一配对”常识证实太惊人真相：此1，2，…，n，…之外还有名亡实存的正整数及最大自然数
可数集A～自然数集N（表示A所有元能与所有自然数一一配对）有一使数学爆发革命的的特点T：不论如何分配都必能保证A的每一元都能配到一自然数“配偶”。例如N={0，1，2，3，…}～N={100，7，3，1，50，…}～N={0，2，4，6，…}∪{1，3，5，…}～N=…。
故在可数集N的非奇数2n都配有自然数配偶n（所有配偶n=0,1，2，3，…组成V）的同时N的奇数也都必可配有自然数配偶,所得配偶的全体组成数列W：m，m+1，m+2，…,m+n,…，显然m=∞1只能是V外标准无穷大自然数>V的一切n——推翻了自识正整数多得写不完的5千年来一直举世公认的“无自然数能>V的一切n”，证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。显然若m-1∈V则其就是V的最大元!其与0之间的自然数多得写不完，正如1与2之间的实数多得写不完一样。
N的偶数y=2n+2>n=0，1，2，…（所有n组成V）也一目了然地表达y必可>数列V的一切数而取V外数。
极显然：在N的非奇数2n都有配偶n∈V时,N的奇数都无配偶n∈V，除非拆散已配对的全部“夫妻”——充分说明V不可～N（否认此事实者连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂）从而更≠N!故课本将不可～N的似是N而非N的假N：V，误为N，是将N的部分误为全部的重大错误。
[5]证明了h定理1：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？D各元均由x>0变换为y=10x就得以y为元的Z～D。据h定理1,Z～D不可～D的真扩集KÉD,从而更≠K! 故中学的“Z=K”是将K的一部分：Z误为K的重大根本错误！关键是Z各元y=10x的对应数x的全体组成的集是D而不能是KÉD！Z～Z不能说明Z～K，因两者的组成成员不同：Z的元是10x,而K的元却是x。
数列W的所有数的倒数组成各项都是无穷小正数的无穷数列。记1/∞1=p，p的n>1次方pn是关于p的n级无穷小正数，一级无穷小数p无穷大倍于pn。长为1/∞1的线段放大∞1倍就成为长为1的有穷短线段。物质的无限可分性决定了有长≠0但又短至不能与任何有穷数相对应的无穷短直线段。“微分三角形”的各边都是无穷短线段。
0＜△x＜任何有穷正数ε（凡有穷正数都可由其代表）中的△x是正无穷小变数＜ε，其所取的数△x都是无穷小正数＜ε。注！去掉“有穷”二字就是病句。
由上可见任何已知正数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的用而不知的“特异”无穷数x±△x（正无穷小△x＜ε可取一切低、高级无穷小正数）。故已知正数全体R+仅为正数宇宙中的一颗星球！没受到以球为宇重大错误误导的小孩能一眼看出无穷数0.99…>x（变域为R+）的过程中不自觉无意识地否定了百年R完备定理：断定R+各元x相比下均为可视其为0而忽略的极小正数。式中x可一个不漏地遍取R+的一切数使y必可一个不漏地遍比R+的一切x都大而取R+外数——直接显示R+外还有正数。
据特点T，N的各非0元n+1都配上自然数配偶n（所有配偶n=0，1，2，3，…组成U）的同时N的0也必可配有自然数配偶t。极显然：t不∈U是最大自然数！——推翻自然数公理和集论立论的论据：N各元n都有对应n+1、2n、…∈N。t+1等是超自然数。可见N有t+1个元，给N增n个元所得的集就有t+1+n个元。据此，级数有
h性质：任何级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。故同样是级数，此级数的项可多于彼级数的项。
故课本的“定义域为N的无穷多函数y（n）=n+k（k=2，3，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
显然t+1个元的集才～N。若将级数A的项都用正自然数来标记：项1，项2，项3，…就用光一切正自然数了，则其有t个项。
显然m=∞1是有m个项的发散级数∑1的所有项的和。关键是级数的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。显然有
革命推论：级数的所有项的和是存在的。（证：若{an}的项与{-an}的项一样多则两数列可合并为{（an，-an）}的所有项的和∑（an-an）=0，不论其是否发散。）
以上表明课本“各无穷级数、数列都有可数无穷多个项。”是重大错误。[7][8]证明了各级数都有末项。
四、无限循环小数是异于任何已知数的无穷数——数学教师都在扼杀学生们的正常思维能力
恒可为两同位正纯小数的和的1=0.9+余数0.1=0.99+
余数0.01=0.999+余数0.001=…=…=…。所有余数形成{1-
0.9，1-0.99，1-0.999，…，1/10n，…}=B。因其是无穷数列，故其中必有形如x=0.99…（省略号表示的9多得写不完）的数以及相应无穷小数△x=0.00…1（省略号表示的0多得写不完）（见上述“光身皇帝”问题且极限论断定B中有数1/10n<ε）。显然定义x=1就是定义数列中有数1/10n =0——违反起码数学常识！不少小学生均能正确察觉到形如此x的数无限逼近1但≠1。可见，若惟书不惟实则全世界数学教师都在传播谬误扼杀学生们的正常思维能力。
症结是不知∑9/10n的部分和的极限1与其所有项的和（见革命推论）x<1是两个根本不同的概念。同样，0.33…
<1/3；…。可见“∑9/10n=1”等等，是误导人的式子，是概念性错误。正确的等式是：∑9/10n=1-无穷小数△x。说1-△x=1是在削足适履。康脱将有无穷多个正数的基本数列B定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的指鹿为马及以1个为无穷多个的康健离脱的病态定义。
故给定的级数x=0.99…<1。m=∞1个9的x<m+1个9的x<m+2个9的x<…<1。…。m个9的x与m2个9的x有重大差别。无限逼近与重合相等是两个根本不同的概念。
显然以球为宇、以井代天的数学对数的认识有极其重大的缺陷与错误。从而出现“分球怪论”“部分可=全部”“指正数为0”…等形形色色不合科学常理的怪论，使数学远离现实与群众而孤立自己。无怪乎著名数学史家M•克莱因感慨万千：“数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。”“数学家们正冒着传播谬误的危险，…。”“与科学完全无关的纯数学…”（[1]书89、269、287页）。非科学可指鹿为马，但科学是老老实实的学问，不可指正数为0。违反现实世界普适法则的不科学的理论必是自相矛盾的谬论而绝非正确反映客观世界空间形式与数量关系的真正的纯数学。这就必使课本有一系列本文无法一一列出的重大根本错误。否则就极不正常了。
中学极显然重大错误：将两异集误为同一集
——续《百年集论确是”疾病”之理由》
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]揭示有用而不知的最大自然数和无穷大自然数。非常形象直观地显示中学重大错误：无穷数列{f（n）}中n>0的变域必是正自然数集N。“定义域为（0，1）的y（x）=cx的值域是（0，c>1）”是重大错误。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷大数；假自然数列；推翻百年集论；变量的变域
肉眼不能将无穷多项都看到，但人有逻辑推理能力，慧眼能洞察无穷集的所有元是否都有“配偶”而不被肉眼所骗。肉眼不能察觉此桶水仅比那桶水多一个水分子，但慧眼能洞察此无穷集{n}比那{n}多（少）含一个数。注！符合实际的思想才能产生慧眼，否则产生傻眼陷入“不可知论”“科学终结论”泥坑。
设俯视图1：{①，②，③，…}=A表示一给定的有无穷多双项（一双项组成一组大项）的立体序列，其由上、下两个序列A1与A2组成，立体自然数都“悬浮”在“围棋白子”○上。类似有B：
{…，⑥，④，②，①，③，⑤，…}
的左（右）半边的数是偶（奇）数。A（B）的所有数组成N。A中正自然数列A1的下面是棋子○序列A2={○}～N（表示A2的○可与N的数一一配对）。A各数都由n变为n+1后再增添新首项1得图2：
{1，②，③，④，…}（1下无○）=M
M各数与A2的○不可一一配对而总有一数下无○，表明M中的数比（A2～N中的）○多一个——意味M比N～A2多包含一个数——意味M中有超自然数>一切自然数！可见形如{1，2，…，n，…}的集不一定是N！即存在似是而非的假N！小学生也能看图1识“字”：
在A中：单独粉碎（增添）n个数后立刻就有n个○上（数下）没数（○）与之配对，无论如何重新配对。原因是A比原来少（多）了n个数，即上下两序列中的任一列一旦单独增减项就必打破原来数与○一样多的格局。故图1显示有
h定理1：任何序列与级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。
[1]证明了 h定理2：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
故此序列{n}的项可多（少）于彼{n}的项。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此革命真象使康脱康健离脱误入百年歧途。
图2的M各数都不动而各○都左移一个位置得{①，②，③，…}，人们就以为其中的数与○一样多。殊不知在无穷远处必有一数下无○。A的项也作此变动
得{○，①，②，③，…}——假象：部分○可与全部
数一一配对。希尔伯特：数学是研究无穷的科学。然而几千年“肉眼数学”恰恰对无穷的认识太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
符合实际的思想：不增减项的序列各项的位置无
论如何改变都不能改变项的多少。显然有换偶原理：
已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换偶”必还是可一一配对。否则就不合逻辑自相矛盾了。
故凡～N的集G的元都必可有“配偶”∈N，一个不漏！故G=N～N 的各非1元n+1都有配偶n∈N（所有配偶n=1，2，…组成U）的同时G的1也必可有配偶t∈N 。极显然：t是U外的最大自然数！t+1是超自然数。同理在以下两都是N的
{…，3，1，（2，4，…，2n，…}
{…，a2，a1，（1，2，…，n，…}
中，一目了然：下N小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。详论见[2]。
以上立体思维“解毒药”使在康脱的病态“乐园”内陶醉了百年的数学一下子清醒过来：化学曾被错误燃素说统治百年，数学也被极荒唐的集论统治百年。
h定理3：若A各元x>0都有对应y>x，则所有y组成的B不可包含A而必至少有一x∈Ax∈A一目了然地直接表达A中有数x<B的一切元y。“对于B的每一元y（x）都有A 的x<y”显然表示A中有数x0变大为y=10x得以y为元的Z～D。⒈据h定理2,Z～D不可～D的真扩集KÉD从而更≠K! ⒉据h定理3,Z不可包含K 的一部分D表明Z≠K!⒊Z与K的元素不同：定义域为D的无穷多y（x）=cx（c可取≤k的一切正数）所取之值cx 都∈K即K包含无穷多种数cx，而Z只含其中的一种：cx=kx——又有力证明Z≠K。
关键是“Z的一切元y=kx>x∈DÌK”正确，而“K的一切元x>x/k∈DÌK”是病句：K有数x/k <K的一切数x。即并非K各元x都有对应x/k∈D。详论见[4]。
故中学的“Z=K”是将两异集误为同一集。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
结语：在一片叫好声中，1908年智慧超群的天才大师著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。
限于篇幅本文只能挂一漏万.详论见[2]-[5]。
参考文献
[1]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；
[2]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J]，科技信息，2009（32）.
[3]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由[J]，科学中国人，
2009（4）；
[4]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，
科学咨询，2007年10月第2期：29。
[5]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267
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再论推翻百年集论的真扩集定理
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]提出数容器概念从而非常形象直观地揭示x轴的线段所包含的点必多于其任何一部分的点。中学数学有将两异集误为同一集的重大错误。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x轴等无穷多各不同的数轴误为同一轴。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。
[关键词]推翻集合论；无穷大自然数；数（点）容器；前所未知的数轴；搞错变量的变域；保序变换
一、提出数容器概念推翻百年集论——发现革命数
无穷集C～D而不～E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元，称D与C等容（两集容量相等）。两集不对等即不等容就更谈不上相等。
如[1]所述，设有专门容纳数（点）集的容器，可简称为容，如集合可简称为集一样。各非空集G都充满在相应的容器G内。如装水分子集的容器必占宇宙的一定空间一样，任何非空数（点）集的容器必占数（点）宇宙的一定空间。各容器的大小是固定的。
容器D容纳不下比集D多元素的集。P＝｛0，1，2｝，容P容纳不下4个数的集。显然有革命事实：容器D的容量=集D的容量。非常显然：任何无穷集D的任何一部分d都不可占满容D（挖去集D的一部分，剩下的不可充满容D）——一目了然地表明D的容量必>d的容量——几行字推翻了百年集论！
点容器可形象直观化：数轴由容纳点的容器与器内点两部分组成。自然数集N可形象化为由长度为1的点组成的自然数轴：
◎①②③④…→N
其中○是只装一个自然数的数容，N轴容器由这无穷多子容器组成。去掉N轴全部偶数y=2n>n=1，2，…（所有n组成Q）就得◎①○③○…，显然因N的全部偶数不可充满N轴容器，故Q={1，2，…，n，…}也不可充满N轴——石破天惊地表明Q不是正自然数集N+而只是其一部分！昭示Q外还有无穷多无穷大自然数！且其可与N的奇数一一配对。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此类革命数使康脱康健离脱误入百年歧途推出：N的真子集可～N。
两不交且非空的无穷集U、V的并记为U+V。U增一元a得其真扩集K=U+｛a｝就比U多了个U所没有的数a。显然U容容不下K集——表明K的元必多于U的元。这一目了然地表明有[2]中的
h定理1（真扩集定理）：任何可有真扩集的非空集G的容量必0变为 y=10x得以y为元的Z～D，D
内有多少个x，Z内也有多少个y。故容Z=容D（表示两容的容量相等）。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z～D真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？
Z～D只能布满容D而不可布满容K——石破天惊地表明容K >容Z =容D——非常形象直观地表明Z～D 与D一样都只是K的一小部分！
据h定理1Z～D不可～D的真扩集KÉD从而更≠K!
故中学的“Z=K”（及“Q=N+”）是将两异集误为同一集。
形如y=10（y/10）=10x>x>0的数y都有对应正数y/10=x, 称这类数为般正数。K内形如y=10x>x∈D的正
数y的全体组成了Z即K内全部般数组成Z。
Z=K（般数）（K内所有般数组成的集）才是正确的，
去掉“（般数）”就是中学重大错误：将K的一小部分：Z，误为K。使康脱推出…。真正建立在此重大错误上的理论
必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
关键是“Z的一切元y=10x>10x/10∈DÌK”正确，而“K的一切元x>x/10∈DÌK”是病句：K有数x/10<K的
一切数x。这表明并非K各元x都有对应x/10∈D。详论见[1]。
“笔下线段不断变长就是可变点集包含的点不断增多。” 非常形象直观地…。数学返朴归真的意义极其重大。
二、y=x轴与y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各不同的数轴不可误为同一轴：y=x轴
同序数概念：数轴A的各数x在轴内分别都有一定的大小“名次”。 A的各数均由x保序变换为y=g（x）（变量y是增函数）就得A的保序变换集B=g（A），x∈A在A中的大小名次与y=g（x）∈B在B中的大小名次是一样的，称y与x互为同序数。据有序集E的特点：若E=H则其各元必可由小到大一一对应相等，显然有
h定理2：有序集A保序变换为B=g（A），A=B的充要条件是恒有x=g（x）（同序数相等）。
如[3]所述，x轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴B=A；A各点均由x保序变换为点y=10x，A就变换为以点y=10x为元的y=10x轴点集C。据h定理2，C≠A，因为x=10x（x的同序数）不可恒成立。
故x轴的0 1（珍珠直径）～y=10…0x轴的
0 … k（地球直径）
，不等于～y=x轴的0 … k。缘于它们的组成成员不同：y=x轴的元是点x而y=10…0x轴的元却是点10…0x，正如铜线与铁线根本不同一样。最关键是[4]指出：点集中的“点”有大小且有大点与小点之分。
如[3]所述，几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各不同的数轴误为同一轴：y=x轴，就搞错了变量的变域，使康脱推出病态的：x=y轴的线段可～它的一小部分。
参考文献
[1]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由[J]，科学中国人，
2009（4）。
[3]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[4]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、
破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[5]黄小宁，凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。
电联:13178840497，
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
14-17 楼是否属于 spam?
y=x轴与y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各不同的数轴不可误为同一轴：y=x轴
同序数概念：数轴A的各数x在轴内分别都有一定的大小“名次”。 A的各数均由x保序变换为y=g（x）（变量y是增函数）就得A的保序变换集B=g（A），x∈A在A中的大小名次与y=g（x）∈B在B中的大小名次是一样的，称y与x互为同序数。据有序集E的特点：若E=H则其各元必可由小到大一一对应相等，显然有
h定理2：有序集A保序变换为B=g（A），A=B的充要条件是恒有x=g（x）（同序数相等）。
如[3]所述，x轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴B=A；A各点均由x保序变换为点y=10x，A就变换为以点y=10x为元的y=10x轴点集C。据h定理2，C≠A，因为x=10x（x的同序数）不可恒成立。
旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。